微杆扭转静动态特性的尺度效应

    0　引言

微机械的概念起源于五十年前,现在已成为机械学科研究的前沿领域[1]·微机械发展 到今天,人们已经能够制造出各种微器件,然而,人们对微构件的物理特性和力学特性还缺 乏了解,这很大程度上限制了微机械的发展·微机械不是传统机械单纯在尺度上的微小化, 它涉及到许多新的理论问题·当构件的特征尺寸达到微米或纳米量级时,构件的摩擦特性、 受力特性、运动特性等都发生了质的变化,传统理论不能解释这种差异·近年来,国际上提 出并正在继续发展与微机械有关的新的理论,如微动力学、微流体力学、微热力学、微摩擦学 等·基于这些新理论研究微机械的物理特性和力学特性,建立微机械设计基础是当前微机 械学的关键问题和新的研究方向[2]·

微机械的基本组成单元是微构件,如微膜片、微杆、微梁、微弹簧、微齿轮等·研究这些 构件的动作和受力特性,了解微尺度下的基本规律,是微机械系统研究的基础性工作·实验 中人们已观察到,微构件存在明显的尺度效应,微尺度构件的硬化或硬度都与宏观尺度构件 存在明显的不同[3,4,5],传统的力学理论不能预测这种差异·近年来国际上提出和发展了一 种新理论———应变梯度理论,应用该理论分析所得到的结果可以描述微构件的尺度效 应[3,4]·Fleck[4]等在铜丝的扭转实验中观察到,当铜丝的直径为12μm时,无量纲的扭转硬化 是170μm的3倍,并用应变梯度塑性理论对其进行了分析,所得结果能描述铜丝扭转的硬 化效应·本文利用应变梯度弹性理论分析微杆扭转的静动态特性,讨论微杆尺度变化对受 力特性的影响·

    1　应变梯度弹性理论

Toupin[6]和Mindlin[7]等考虑旋转张量ω的梯度ωi,j及相应的偶应力mi,j,提出了偶应力 理论,它是最基本的应变梯度理论·在偶应力理论中,Cauchy应力可分解为对称应力分量和 反对称分量,无体力和体力偶时,它们满足平衡方程

其中,εm=εkk,μ是材料的剪切模量,K是体积模量,l是依赖于材料的微结构的特征常数, 其量纲为长度·当结构的变形特征尺寸远大于l时,应变梯度效应可以忽略,应变梯度理论 退化为经典理论·

    2　微杆扭转静态尺度效应

为分析微杆扭转的尺度效应,取圆柱坐标(r,θ,z),如图1所示,假设位移场为

其中d/dz是单位长度的扭转角,为常数·

由(3)-(5)式,求得非零的应变分量

将(10),(11)式代入(8),利用功能关系,导出下式

其中,Jd是圆截面扭转经典理论的常数,a是微杆的半径·当l/a→0时,即不计应变梯度的 影响,(12)式退变为经典的扭矩转角关系·

将(12)式代入(10),得到应变,再代入(6)式,求得最大剪应力