凑合反推法-流体力学变分原理建立的一条新途径

　　凑合反推法是刘高联系统方法^（1）的进一步发展，应用这种方法可以方便地构造各种亚广义变分原理及广义变分原理，并可以消除临界变分现象.对于任何二维守恒型流体力学方程，作者推导得到了其广义变分通用公式.几个实例证明这种方法是有效的、简单的，并具有普遍的意义.

　　1引言

　　凑合反推法是作者根据刘高联的系统方法^[l]，在不断的实践过程中摸索出来的一种行之有效的方法，是刘高联系统方法的进一步发展。该方法吸收了刘高联系统方法中的两条路线中的精华。由于流体力学控制方程的强非线性，无论刘高联的反推法，还是钱伟长的权余法^[2]有时会出现无法克服的困难，其困难的根源在于企图建立单变量的变分原理。为了避开这一困难，作者提出了一种建立多变量的(亚)广义变分原理的新方法—凑合反推法。下面就水坝溢流问题作一简单的阐述。

　　2理论基础

　　水坝溢流在映像平面上的控制方程为ls]

　　以式(l)为Euler方程，建立以为独立函数的泛函，应用刘高联的反推法，设存在泛函J，使下式成立:

　　刘高联的反推法或钱伟长的权余法的基本思想就是通过各种途径把变分算子占转换到积分号外面。这种转换需要一定的技巧，有时也会遇到一定的困难。但式(7)的形式给作者很大的启发，如果让作为独立变量，则对应的Euler方程即为式(l)。为了避开单变量反推法的难点，设存在这样一个以为独立变量的试泛函(tria-functional)J与方程式(l)相乘，然后分部积分，再加一待定函数F):

　　由式(14)及式(15)，初步识别待定函数F可得:

　　具体识别待定函数的方法同上。由于凑合反推法彻底摒弃了拉氏乘子法，从而不会产生临界变分^{3一4】.凑合反的第三种方法是任意构造在物理平面上具有能量形式的积分作为试泛函，这种方法大大增加了凑合反推法的方便性和灵活性。如在物理面上不可压的动能可表示为:

　　3二维流体力学变分通用公式

　　文献叫推导得到了二维流体力学变分通用公式.这一公式也可以用凑合反推法方便求得。为了能清晰地阐明本文的思想和实质，并说明其普遍适应性，设流体力学的控制方程具有下面守恒形式:

　　4结论

　　本文继承和发展了刘高联的系统方法。刘高联反推法的难点在于比较难建立单变量的变分原理，而拉氏乘子法则容易出现临界变分现象。凑合反推法则避免了单变量反推法之难处，是建立多变量亚广义变分原理及广义变分原理的最有效的途径之一。该方法具有以下特点:(l)试泛函(Trial-Functional)选择灵活方便;(2)可以非常方便地求得各种亚广义变分原理和广义变分原理;(3)可以避免临界变分;(4)对于用二个守恒型方程描述的二维流体问题已找到了建立广义变分原理的统一模式。