对边简支矩形板的不对称弯曲

　　1前言

　　矩形板的对称弯曲问题的解决计算方法已经很成熟，但其中计算比较复杂而且关于不对称弯曲的讨论较少。机械工程中有些零件可简化为两对边简支两对边自由，承受线性荷载的矩形薄板。本文应用能量法讨论矩形薄板的不对称弯曲，采用变量分离的挠度函数。挠度函数形式简单，只须满足薄板的几何边界条件，计算简便而且薄板上所受的荷载类型可广泛多样。

　　2挠度函数

　　设有一对边简支矩形板边长分别为a和b，假定薄板承受均匀线性荷载q，如图1所示:

　　本文仅讨论对边简支的矩形薄板在荷载q作用下的不对称弯曲。对边简支板的边界条件:

　　对x=0和x=a边:

　　选取分离变量形式的多项式挠度函数:

　　其中，式中的cl，c:均为待定常数。很显然由X(x)和Y(y)构成的挠度函数满足矩形板的几何边界条件(l)(2)。即挠度函数:

　　设矩形板为各向同性板，则板的形变势能可表示为:

　　我们由挠度函数(6)很容易可以得到:

　　将(8)式代入方程(7)可得:

　　其中

　　很显然，上述各式均为常数。

　　系统得外力势能为:

　　式中 公式12

　　其中药，乓均为常数·

　　系统的总势能为:n=U-P

　　根据里兹法，系统达到平衡时，总的势能最小，即:

　　对两个参数c，，几进行变分，可得:

　　解由(15)(16)组成的方程组，可以得到:

　　因而我们得到挠度方程为:

　　3计算实例

　　对于正方形板计算较为简便，取a二b，u=0.3，代入方程(17)可得:

　　所以承受非对称线性载荷的正方形板中心处的挠度为:

　　4结论

　　(l)本文选用的挠度函数简单方便，选择范围较宽，满足全部几何边界条件，但不一定满足内力边界条件。

　　(2)研究计算表明，挠度函数的项数取得越多，以及参与变分的系数越多，则计算的精度越高，但同时计算量变大，计算变得复杂。

　　(3)计算方法简单，具有很好的收敛性，具有一定的实用性。

　　参考文献:

　　1.鸿文.板壳理论[M].杭州:浙江大学出版社，1987

　　2.钟正华，傅衣铬.矩形板受边缘荷载的若干格林函数及其应用[M].上海大学，1985

　　3.侯东生，王讲书两对边简支两自由边之一受均布载荷的矩形薄板弯曲问题的级数解tJI.西北轻工业学院学报，l995(l)

　　4.王桂芳.弹性矩形薄板弯曲问题的一个解法[J].四川联合大学学报，1998(5)27一33