受扭圆轴弹性屈曲分析时边界条件的不一致性

　　受扭圆轴广泛存在于机械结构中。对于细长圆轴,两端作用扭矩时将直接导致弹性屈曲。机械工程师知道受扭转圆轴的弹性屈曲,为避免细长圆轴屈曲的发生,在设计时,常常是在其间增加铰链来缩短圆轴的长度。因此,最普遍的应用就是两端简支的圆轴,在一端作用有集中扭矩T,则在另一端将产生相应的反作用扭矩T,如图1所示。在简支情况下,可用直接解二阶微分方程的办法,考虑到位移边界条件,得到屈曲发生时临界载荷的解析解[1]。众所周知,变分法为有限元分析方法公式的建立提供了基础[2]。但是,在简支情况下,利用能量变分方程求得的数值解[3]与解析解结果间的差异达20%以上。在本文,笔者将解释产生这种差异的原因。

　　1　解析解

　　设图1所示的两端简支圆截面轴长为L,抗弯刚度为EI,在弹性屈曲状态,位移矢量可定义为

　　式中:v,w分别为轴线上的点沿y,z轴方向的位移;φ,分别是截面绕y,z轴的转角。对于Euler2Bernoulli梁,可忽略横向剪切变形,即有

　　平衡方程是关于挠曲线的二阶微分方程,可表示为

　　这里,′和″分别表示对x的一阶、二阶微分。两端的位移边界条件

　　利用位移边界条件(4)解方程(3),可得到圆轴屈曲时的临界扭矩[1]

　　式中:kcr称为临界载荷系数。

　　2　能量变分方程

　　图1所示圆轴,考虑的边界条件有图2所示3种不同情况。

　　2. 1　能量变分方程

　　对于细长的圆截面轴,横截面上没有翘曲现象,因此,弹性屈曲时圆轴的能量变分方程可表示为

　　注意到式(2),这样,式(6)可简化成

　　Trahair和Teh[3]用到了式(7),但他们的表达式中少了变分符号“δ”。对式(7)的左边利用分部积分法,可得

　　2. 2　Euler方程

　　由于δv和δw在区间(0,L)内是任意的,等式(8)的成立,隐含了式中头二项的括号内同时为零,即

　　式(9)就是大家熟知的Euler方程,也称平衡方程。

　　2. 3　边界条件

　　轴端点处的边界条件有两种类型[4]:一种是几何边界条件,要求变量v、w或者它们的导数在边界处为零,这是由具体结构事先给定的;另一种是自然边界条件,实质上是力边界条件,要求变量v、w或者它们的导数前的系数为零,这是由问题的要求推导出来的,不是事先指定的[5]。

　　图2(a)是两端简支,故其几何边界条件是在圆轴的两端点处横向位移为零,可表示成

　　图2(b)是一端固支,一端铰支,故其几何边界条件可定量地表示为:固支处位移和转角均为零,简支处位移为零,即