轴对称塑性变形问题的广义滑移线方程推导

　　0引言

　　目前,滑移线法已成功用于求解理想刚塑性平面变形问题。但七十多年来,滑移线法仅从求解平面变形问题推广到求解主应力异号的平面应力问题。究其原因,在于经典滑移线法的使用条件:只有当塑性变形体内各点的最大剪应力处于同一平面上,才能绘制其滑移线场。塑性变形多种多样,变形体内各点的最大剪应力往往不位于同一平面上,因此无法直接应用滑移线法。

　　滑移线法在轴对称塑性变形问题上的应用有两种处理方法,其一是将平面变形问题的解直接或稍加修改后推广到轴对称变形问题;其二是根据Har.Von完全塑性条件,即假设切向正应力为最大或最小主应力,得到滑移线的微分方程。利用方法一只能得到精度较低的近似解,而方法二的假设条件不易判定,有些情况下也不成立。本文提出广义滑移线的概念,推导出适用于轴对称塑性变形问题的广义滑移线微分方程,并具体求解了初始高径比的圆柱体试件在普通平板间徽粗30%(瞬时高径比等于1.63)时的应力场。

　　1广义滑移线方程推导

　　1.1轴对称平衡微分方程

　　轴对称变形时,子午面始终保持为平面,子午面上无剪应力,即,应力分量只有未知,如图1所示。忽略体积力,其应力平衡微分方程为

　　1.2应力莫尔圃

　　根据单元体内质点的应力分量可以画出其应力莫尔圆。对于轴对称问题,变形体内质点应力状态的莫尔圆可能存在两种情况,如图2(a)和图2(b)所示。图2中从M、N两点为变形体内任一点处两相互垂直平面r面和z面上应力分量在6一评面上的投影点,A、B两点代表该点处两主剪应力平面上应力分量在平面上的投影点。与应力莫尔圆相对应的质点的应力状态如图3所示。与图2(a)对应时,主剪应力无为最大剪应力;与图2(b)对应时,主剪应力k=k1=(σ2-σ3)/2,此时无并非最大剪应力。变形体内质点的主应力分别为。

　　由图2(a)知,变形体内任一点处两相互垂直平面r面和z面上的应力分量位于以最大剪应力k_max为半径的圆上,此时。由从M、N顺时针转2角,得到剪应力最大的两点，A、B两点位于滑移线上。由应力莫尔圆知

式中对于ω规定:由M顺时针转到A点时,ω为负,反之为正。图2(a)中ω为负。

　　图2(b)中,两相互垂直平面r面和z面上应力分量位于以k1为半径的圆上,此时。由从N两点顺时针转2ω角至。由应力莫尔圆知,仍然有式(2)的3个等式

　　由图2(b)知,r、z平面上未有最大剪应力,不存在滑移线。引入广义滑移线的概念,所谓广义滑移线就是指变形体内任一平面上各点的主剪应力迹线。对于轴对称问题而言,子午面上各点主剪应力迹线在子午面(为主平面)上的投影即为其广义滑移线,则图2中A、B两点位于广义滑移线上。广义滑移线未必是真正的滑移线,图2(a)中的广义滑移线即为真正的滑移线,而图2(b)则不然。基于广义滑移线的解题方法不仅能求解轴对称问题,还可用于经典滑移线法不能求解的其他问题。