超磁致伸缩换能器的非线性特性

    超磁致伸缩材料是一种新型功能材料,具有比压电材料高数十至数百倍的磁致伸缩应变值,并且有输出功率大、微秒量级响应速度、工作宽频带等优异特性,在许多领域都有重要应用[1~6],尤其是在微位移应用领域更显示出其独特的优越性·超磁致伸缩换能器电磁-机械耦合过程,从工程应用角度,可以用一种相对简单的数学模型来等效模拟该磁-机耦合动态过程[7~9]·本文以试验数据为基础[[10],对动态磁致伸缩过程进行分析,利用多尺度法,求解了碟簧非线性变刚度的动力学响应,并分析了换能器的混沌运动·

    1　超磁致伸缩换能器动力学特性

    超磁致伸缩换能器的结构示意图如图1所示·超磁致伸缩棒在电磁场作用下产生形变,带动顶杆运动·在一定的预压应力下和磁场强度范围内,超磁致伸缩棒的应变与磁场强度成线性关系·因而可以把超磁致伸缩换能器简化为在沿棒长均匀分布的简谐激励作用下的弹性杆纵振力学模型,如图2所示·由弹性杆的纵向振动,得其运动微分方程为

其中,u为磁致伸缩棒轴向位移;和m分别为磁致伸缩棒抗拉刚度和换能器等效质量,k为碟簧刚度的线性部分·对方程(1),令t′=t-τ,应用Green函数法,得换能器纵振模型的Green函数为

确定·对于谐波激励f(x,t)=Fcosνt,得到方程(1)的解为

其中,F为沿磁致伸缩棒纵向单位长度的磁致伸缩力·对于本文制作的换能器,磁致伸缩棒长50mm,直径16 mm,根据材料特性实验数据,得到阶跃段的杨氏模量E=2·65×1010Pa,弹簧刚度k=5 000 N/mm,顶杆的集中质量m=0·1 kg,利用方程(4),解得λ1=17·2 l/m,从而得磁致伸缩棒第一阶固有频率为

    2　超磁致伸缩换能器的非线性振动响应

    由于磁致伸缩换能器的激励频率远低于磁致伸缩棒的第一阶固有频率,磁致伸缩棒的振幅分布近似为一条直线,从而可以将磁致伸缩换能器进一步简化为等效单自由度力学模型·其运动微分方程为

式中,m、C、K(x)分别为换能器等效质量,等效阻尼和等效刚度,在超磁致伸缩换能器中,无论采用软性或硬性碟簧,碟簧刚度对换能器等效刚度的影响不能忽略·对于软特性碟簧,根据碟簧理论公式并经碟簧实测特征曲线修正后[10],在动态磁致伸缩范围内,则换能器等效刚度与位移关系为

利用多尺度法,经推演后得到一次近似解

确定·a和β分别是复振幅的实部和虚部,T2是时间尺度·令D2a=D2γ=0,消去γ后,即得换能器振动系统的频响方程