轴对称塑性变形区内-点流动方向的探索

　　0 前言1

　　金属发生塑性变形时变形体内各点的运动方向，是塑性加工领域比较关心的一个问题，对此很多学者进行了研究[1-6]。1947 年古布金[1]曾提出著名的最小阻力定律：如果物体在变形过程中质点有向各个方向移动的可能性，则物体内各质点将向着阻力最小的方向移动。后来有学者认为以上概括实际意义并不大，因为如果不能确定变形体中哪个方向是最小阻力方向，则此定律无法付诸应用。卡恰洛夫等从能量角度以及其他的角度对金属流动方向进行了描述，但该问题始终没有定论。哈尔滨工业大学王仲仁等[4]曾首次提出所谓平均应力梯度的论点，认为对于单自由度均匀变形，质点的运动方向由体积不变条件决定;对于双自由度变形，质点运动方向将与该点平均应力梯度方向一致。

　　数值模拟作为目前最主要的研究手段被广泛应用于金属塑性成形的各个领域，大量基于有限元理论的模拟软件能够对成形过程的工艺参数给出精确的预测。通常，有限元分析中应用极值或变分原理(如马尔可夫变分原理)给出单元内的位移，再计算单元内的应力分布。这种方法没有考虑应力场在变形流动中的影响[7]，本文将通过数值方法给出典型轴对称变形应力场中平均应力梯度方向，并分析质点流动方向与局部应力场梯度之间的关系。

　　1 应力场中平均应力梯度方向的确定

　　1.1 标量场中一点的梯度

　　在科学研究和数据处理中，作为被研究对象的物理量经常以场的形式存在，标量场是一种常见的场，通常可表示为以空间位置(坐标)为自变量的标量函数，如温度场、溶液浓度场等。标量场的梯度是一个矢量场，方向指向标量增加率最大的方向，即等值面的法线方向，数值为该方向上标量的增加率。若标量场可以表示为关于空间坐标的连续函数，则其中某点的梯度即为该点处方向导数的最大值。而如果研究的标量场是以离散数值点的形式给出，则没有直接的解析方法给出某点的梯度，而只能通过数值方法求解。

　　金属发生塑性变形后，由数值模拟软件可以给出变形体内各个节点处的平均应力值，这样就得到一个关于节点坐标的离散标量场，即平均应力场。为了给出平均应力梯度场中某点的梯度方向，这里采用式(1)近似求解某一节点的平均应力梯度的大小

　　式中 gradN——节点 N 处的梯度值mNσ ,miσ ——节点 N 及其附近的节点 i 的平均应力值iNd ——节点 N 和节点 i 的距离cd ——距离常数

　　式(1)表示在以节点 N 为圆心，cd 为半径的圆形区域内对所有节点求m m( )i NiNσ σd的最大值。节点 N 的梯度方向定义为m m( )i NiNσ σd取最大值时节点 N 和节点 i 的连线方向，由 N 指向 i。