无限平面矩形开孔的应力场分析

    平板是工程中广泛使用的二维承载结构,在船舶及海洋工程、航空航天工程中都有大量应用.为了满足工程设计的要求,有时需要在平板上开孔.分析平板由于开孔引起的应力集中,掌握峰值应力的变化规律,在工程实际中具有十分重要的意义.前苏联学者Mycxeлишвили及萨文把复变函数理论应用到弹性力学问题上,克服了几何形状对求解造成的困难,对非圆开孔应力集中问题的研究起到了极大的推动作用.本文在此基础上对开孔应力集中问题进行了深入广泛地分析和研究.

    1　求解孔口问题的复变函数方法

    应用复变函数求解边界问题时,可引入映射函数z=ω(ζ),将所研究的z平面上的域保角映射到ζ平面上的单位圆内[1],在映射后的平面上,边界条件可表示为[2]

式中:X、Y为边界上所受的面力在x及y方向上的分量;σ=eiθ为单位圆周上的任意点.[3]

    对本文所讨论的无限大多连体带有单孔口的情况,函数φ(ζ),ψ(ζ)应满足下列公式[2]:

式中:φ0(ζ)、ψ0(ζ)在单位圆内是ζ的解析函数,并且在圆内及圆周上连续;Γ及Γ′为已知的复常数,与无穷远的主应力N1、N2之间满足如下的关系式[2]:

另一方面,取公式(2)的边界值代入式(1),得函数φ0(ζ)、ψ0(ζ)的边界条件:

式中:ρ为所求点到单位圆圆心的距离.

    利用柯西型积分可将边界条件式(4)转换为如下的积分的形式[2]:

方程(8)就是确定函数φ0(ζ)的积分方程.将式(4)写成共轭形式,再利用柯西型积分进行变换,可得确定函数ψ0(ζ)的公式[2]:

将求得的函数φ0(ζ)、ψ0(ζ)代入式(2)求出函数φ(ζ),ψ(ζ),并将其及ω(ζ)代入式(6),求出函数Φ(ζ)、Ψ(ζ),于是由式(7)即可求得域内各点的应力值[4].

    2　含矩形孔的无限域的孔边应力集中

    将含矩形孔的无限域映射到单位圆内的映射函数可采用如下的近似形式[5]:

式中:β1、β3…与矩形孔的边长比有关,c是复常数,与矩形孔的大小有关.

    2.1　含矩形孔的无限域在单向应力状态下的孔边应力

    设含矩形孔的无限域在与ox轴成α角的方向受有均匀应力p,在孔边不受面力,如图1.则在此情形:X=Y=0,X=Y=0.无穷远的主应力:N1=p,N2=0于是式(3)给出:,将上述各值代入式(5)求出f0,于是式(8)及式(9)右侧的积分分别为

函数φ0(ζ)可写成如下幂级数的形式:

将上式及取前3项的映射函数表达式代入式(8),利用柯西型积分可以求得:

将上式及映射函数的表达式代入式(9),利用柯西型积分得:

a₁、a₃为φ₀(ζ)中ζ、ζ3项的系数.算得的孔边应力如图2,孔边峰值应力随边长比的变化情况如图3.图中λ为边长比.