一边简支二角点支承的矩形板在集中弯矩作用下的弯曲解

　　1　引言

　　弹性薄板广泛应用于工程各领域.研究薄板弯曲的理论解法,具有理论意义及实用价值.文献[1]中研究了一边简支二角点支承的矩形板在均布荷载作用下的弯曲问题.现在,本文应用叠加法,在文献[1]基础上,进一步研究一边简支二角点支承的矩形板在集中弯矩作用下的弯曲问题.本文先分别求出一边简支一角点支承的矩形板上作用集中弯矩和单位集中力的弯曲解,然后由所撤角点的支座方向位移等于零或支座沉陷值的条件求出该角点的支承反力,最后利用叠加法求出原结构体系的弯曲解,计算表明这种解法收敛速度快,计算精度高.

　　2　一边简支一角点支承的矩形板在集中弯矩作用下的弯曲解

　　图1所示边长为a,b的矩形板,x=0为简支边,B角点支承,C角点自由,承受板面集中弯矩的作用,计算时坐标系见图1所示.

　　矩形板在板面集中弯矩作用下,挠度w应满足下列挠曲微分方程[2]

　　式中,D为板的抗弯刚度,分别为板的弹性模量及泊松比,t为板厚.

　　设w=w1+w2

　　式中w1和w2分别为式(1.1)的通解和特解.w1主要与板的边界条件有关.为表示板的双向弯曲变形和对应板的8个边界条件,取w1为包含8个待定常数的双向单三角级数

　　式中,α= mπ/(2a),β= nπ/(2b);Am,Bm,Cm,Dm,En,Fn,Gn,Hn为8个待定常数;w2为特解

　　w2满足方程(2.1)所对应的非齐次方程和角点方程(2.2).

　　w1中的八个待定常数可由板四边的边界条件确定.

(2.4)

　　由x = a时,mx=0得:

　　由式(2.4)到式(2.11)组成一组以待定常数为未知量的线性方程组,由该线性方程组可建立8K个方程,便可求出全部待定常数.

　　算例　图1所示矩形板,设a = b,在板的中点作用集中弯矩My,泊松比为μ=0.3,表1列出图1中各点的挠度系数(单位Mya/D)和弯矩系数(单位My/aD),并与有限元的结果比较.表中本文值为级数取前4项的结果.

　　3　一边简支一角点支承的矩形板在自由角点作用单位力的弯曲解

　　一边简支一角点支承的矩形板在自由角点作用向下的单位力时,挠度w应满足下列挠曲微分方程:

　　w还应满足下式所示的角点条件:

　　理论解D显然满足齐次微分方程(3.1)及(3.2)所示的角点条件及其它边界条件.

　　.算例　图1所示矩形板,设a = b,在板的自由角点作用向下的单位力,泊松比为μ=0.3,表2列出图1中各点的挠度系数(单位a2/D)和弯矩系数(单位1/D),并与有限元的结果比较.

　　4　一边简支二角点支承的矩形板在集中弯矩作用下的弯曲解