转动柔性梁横向振动的一种近似解法

　　自1980年代Kane提出做大范围运动梁的几何非线性问题以来,关于这类耦合系统的动力学建模分析获得了学者们的广泛重视[1-3],对这类模型的分析方法以有所探索与改进[4]。而随着柔性航天器、转动雷达天线等带有柔性附件系统在高速、轻质、高精度等方面的发展与应用,要求对这类系统的动力学特性做深入的分析。但由于此类系统的复杂性,以及相关数学理论的局限,使得对于这类系统的求解变得非常困难。

　　本文就一个做定轴转动的大型刚性结构上的柔性简支梁入手,首先建立一个运动坐标系来描述梁的变形运动,采用Green应变理论分析了柔性梁轴向变形和横向变形的耦合特性,采用Galerkin离散化方法,从应力2应变的角度提出了系统的控制方程组。然后通过对模型合理的简化,使得所得的高度耦合的强非线性方程组简化为一个描述梁横向振动的强非线性方程。采用一种改进的L2P法,求出了系统横向振动的一阶近似解,通过与能量积分所得结果的比较表明,这种求解方法较为可行。

　　1　柔性梁模型的描述

　　分析如图1所示的在水平面内做定轴转动的柔性简支梁模型。梁一端连在可绕轴线o0转动的转轴上,另一端与固定在转轴上的刚性架相连,x0o0y0为固结在转轴上的惯性坐标系。xoy为随体坐标系,梁的中心轴线上与转轴相连接的点为o,ox轴与梁未变形时的轴线重合。系统参数为:刚性转轴半径为R,梁长为l,密度为ρ,横截面积为A,弹性模量为E,I为截面二次矩。

　　为便于分析叙述,做如下假定:梁的变形运动在o0x0y0平面内;梁的本构关系假设为线性的而只考虑其几何非线性;不考虑剪切变形和阻尼的影响;把梁作为柔性直梁考虑。

　　分析如图2所示柔性梁的变形位移图,记ox、oy轴的单位矢量分别为i、j,设梁轴线上任一点P(x,0)(x为梁未变形时点P在随体坐标系内的横坐标)变形后位于点P′,P点由变形引起的轴向、横向位移分别为u(x, t)、v(x, t),则P点变形后对o0的绝对矢径rp、绝对速度rp、绝对加速度为¨rp

　　其中：

　　如图2所示,分析梁的微元dx的受力图,可得如下的3个方程

　　其中,θ为刚性转轴转动的角位移,α为由弯矩引起的梁横截面法线的转角(梁微元轴线在随体坐标系oxy内的倾角),Jh为定轴转动的刚性结构对转轴的转动惯量,Jb为柔性梁相对于转轴的转动惯量,J0为单位长度梁的转动惯量,M0为外力矩,N为梁轴向受力,Q为切向受力,N′x、Q′x分别表示对x的偏导数。

　　设点P所在横截面上任一点P(x,y)相对梁未变形时的轴向、横向位移为u0(x,y, t)、v0(x,y, t),则由Green应变公式可得P0点的轴向应变为[5]