狭长矩形简支梁一端受力偶作用时的侧向屈曲临界载荷

　　1　临界载荷的级数解

　　关于狭长矩形梁的侧向屈曲问题,很多人已做了大量的研究[1~4],但目前可供设计使用的临界屈曲载荷计算公式仍很有限,没有查到简支梁一端受集中力偶作用时的临界屈曲载荷计算公式。侧向屈曲是在狭长矩形梁工程结构设计中要考虑的重要问题。我们在对封井器吊装架的横梁进行侧向稳定性计算时,计算了这种情况下的临界侧向屈曲载荷。设有一两端简支的狭长矩形梁如图1所示,右端作用一集中力偶,其力偶矩为M,假设梁的两端不能绕x轴转动。

　　图1(a)中梁两端可以绕平行于y及z轴的惯性主轴自由转动,而图1(b)梁两端只能绕平行于y轴的惯性主轴自由转动,不能绕平行于z轴的惯性主轴自由转动。于是,当M达到某值时,侧向屈曲与扭转同时发生。

　　建立图示固定坐标系,在任一截面中心建立一活动坐标系,坐标轴y′和z′在横截面的主轴方向,x′在屈曲后轴线的切线方向。梁的变形由横截面的形心在y及z方向的位移分量v、w及横截面绕x轴的转角φ来描述。对于很小的φ角,梁在y′x′和z′x′平面的曲率分别与梁在yx和zx平面的曲率相同,每单位长度内梁的扭转角为dφ/dx。梁所应满足的

　　平衡微分方程为

　　将式(2)代入式(1),则平衡微分方程变为

　　由数值计算知,上式有无数个根,其中有意义的即最

　　2　能量法近似计算

　　对于图1(a)梁的临界载荷,除了进行理论分析外,还可以通过能量法近似计算梁的侧向屈曲临界载荷。当梁发生侧向屈曲时,其应变能将增加,增加的应变能为梁在侧向(xy)平面内的弯曲及绕x轴的扭转应变能。同时由于梁的侧向弯曲及扭转使梁右端在xz平面的转角有一个增量,力偶矩M作的功将增加,其临界值由功的增加量等于应变能的增加量来决定。这里忽略了屈曲发生时梁在xz平面内弯曲应变能的微小改变。如果xz平面内比xy平面内的刚度大很多,所得结果是足够精确的。应变能的增加量为

　　(8)相比较,误差为6.6%。如果取

　　3　计算结果分析

　　应用式(8)可以校核吊装架横梁的侧向稳定性。现有吊装架横梁长度为20 m,梁的截面为0.3 m×0.05 m,材料为A3钢,其最大工作载荷为800 kN·m。由式(8)可算得其临界载荷为1283 kN·m,可见该横梁不会发生侧向屈曲。

　　为了考察本文方法的正确性及便于与现成的结果进行比较,对于图1(a)简支梁,当两端同时作用力偶时,与式(10)相对应的计算公式变为

　　从式(8)可以看出,梁截面的尺寸越大,临界载荷越大;梁越长,临界载荷越小。在用式(10)和(16)计算梁的侧向屈曲临界载荷时,等式右边各项是一致的,等式左边要根据梁的实际情况确定。