复杂变截面梁的轴向自由振动分析的近似方法

    0　引　言

    梁和柱是工程结构中应用最普遍的结构形式。在梁的动力分析中,等截面直梁的轴向振动问题是较为简单的[1],易于求得解析解。但在工程实际中,常常需分析如烟囱和分段阶梯形立柱那样的变截面梁式结构的轴向振动问题,这些较为复杂的变截面梁的轴向振动问题一般很难得到解析解,常采用近似解[2,3]。本文依据Ritz展开原理,采用模态摄动的方法,建立变截面直梁的轴向自由振动问题的半解析解。

    1　复杂变截面梁的轴向振动方程

    本文所指的复杂变截面梁是指带有附加影响的变截面直梁,这种附加影响包括作用于梁的附加质量和弹性约束。复杂变截面梁的轴向振动方程为:

式中u(x,t)为梁的轴向位移,p(x,t)为作用于梁的轴向激振力。EA(x)为梁在x截面处的抗拉刚度,-m(x)为该截面处的线质量密度(单位梁长的质量)。kr(x)为作用于梁的第r个附加弹性约束的弹性分布系数,ms(x)为梁上的第s个附加质量的质量分布系数,nr和ns为对应的组数。

式中△xr和△xs分别为第r个附加弹性约束和第s个附加质量的作用区域。而作用于某一点的附加弹性约束和附加质量可分别表示为:

    kr(x)--krδ(x-xr),ms(x) =-msδ(x-xs)

    应用分离变量法,变截面梁的轴向振动主模态函数由下式确定:

式中:~λ=~ω2,~ω为复杂变截面梁的自振圆频率。

    相应地,不受任何附加影响的等截面直梁的轴向振动主模态函数由下式确定:

利用边界条件可求得(3)式的各阶特证值λi和对应的主模态函数i(x),主模态函数i(x)满足正交性条件:

    然而,对于一般条件下的(2)式的求解,除少数特殊情况外,很难求得解析解。下文介绍求解(2)式的一个较为简便的近似方法。

    2　基于Ritz展开的模态摄动法

    把变截面梁在x截面处的抗位刚度EA(x)和线质量密度-m(x)表示为:

式中常量的抗拉刚度EA0和线质量密度-m0可取为:

    (6)式表明:(2)式所描述的复杂变截面梁的轴向振动系统可以看成是(3)式所描述的等截面梁的轴向振动系统经过参数修改后得到的新的轴向振动系统。当这一修改相比于原系统而言不是很大时,新的轴向振动系统的第i阶特征值~λi和对应的主模态函数~i(x)可在原轴向振动系统的第i阶特征值λi和对应的主模态函数i(x)的基础上进行简单的摄动分析而近似求得:

式中主模态函数的修正量为原轴向振动系统其它保留主模态函数的线性组合:

    从(7)式和(8)式可以看出:只要求得△λi和cj(j=1,2,…,m;j≠i)这m个未知数,则复杂变截面梁的轴向振动系统的第i阶特征值~λi和对应的主模态函数~i(x)的近似解便可获得。把(7)式和(8)式代入(2)式,并利用(3)式进行化简,然后两边同乘以k(x)并沿全梁积分,同时使用(4)式和(5)式中的正交性条件,经整理可得: