基于奇异有限元法对大曲率缺口断裂问题的数值分析

　　由于工程结构中存在大量的缺陷,实际工程中灾难性事故经常发生。结构疲劳与断裂给人们带来巨大损失^[1]。所以对结构损伤、构件寿命以及适时检查等方面的研究引起了人们的极大关注。在实际工程中,由于塑性变形和应力腐蚀等原因一般情况下裂纹尖端在某种程度变钝而成为一个曲线,需要对尖端在某种程度变钝力学问题建立新的计算模型,许多研究者在结构材料的断裂力学问题做了大量贡献。例如在较早的工作中Hardiman^[2]和Eshelby^[3]对于远场作用均匀拉应力的情况下获得了含椭圆夹杂的常应力状态解;England^[4]利用复变量法推导了对于含椭圆夹杂弹性体的求解公式; 1967年Greager^[5]给出了对于各向同性材料钝裂纹的弹性场。Gong等^[6]利用保角变换等方法在反平面剪切应力作用下研究了椭圆夹杂问题;Thomson与Hancock^[7]利用局部应力和应变场获得了对于含球形弹性夹杂的近似弹性变形基体的解答。

　　1　钝裂纹奇异单元的位移模式

　　由文献^[8]的思想可知,钝裂纹奇异单元的位移模式为q为节点上位移列阵,N是等参单元形函数阵,λ为真场的应力强度因子向量列阵,Ml(r,θ)为局部位移角分布函数阵[9],并且

　　2　有限元方程

　　设所研究的区域划分为NE个单元,其中有m个奇异单元, (NE-m )个常规单元,则整个研究区域内

　　示应变矩阵,Bs表示与在钝裂纹附年的奇异应变场有关的奇异应变阵,其推导过程见文献^[8]。根据最小势能原理,其总体矩阵表示为

　　3　数值分析

　　为说明本文方法在解决断裂问题中的适用性,考虑一个在y方向承受单位拉应力的物体内深埋一个中心椭圆形裂纹,其板的尺寸为2L×2h,a与b分别表示椭圆裂纹的长半轴和短半轴。

　　3·1　与理论解析解比较

　　在此节中椭圆裂纹的长半轴固定为a=0·6,椭圆裂纹的短半轴b分别取0·1、0·2、0·3。用前述有限元模型研究计算椭圆裂纹的应力强度固子,其用本文方法和解析解[9]获得的结果见图1。可以看出本文获得结果与解析解很好的一致。

　　3·2　结构尺寸对解的影响

　　在此节中椭圆裂纹的长短半轴分别取为a=0·6、b=0·2、L/a=139,通过改变h /a,计算结果见图2。同理,椭圆裂纹的长短半轴分别取a=0·6、b=0·2、h /a=139,通过改变L/a,计算结果见图2。

　　4　结论

　　本文得到了钝裂纹问题一种新的奇异单元,提出了一种钝裂纹问题应力强度因子的计算方法,采用本文计算方法得到的结果与理论解很好的一致。采用本文计算方法所得到的结果具有稳定、可靠与高精度等优点,说明本文方法是高效易行的。