轴系校中的传递矩阵方法及其VB实现

　　0　引　　言

　　传递矩阵方法是结构力学中求解变截面连续梁的一种常用方法[1].它有着将内力和变形统一于一个公式中的优点,便于上机计算[2].但通常采用的计算方法是强制使第一个截面的状态向量等于某一个值,然后求出截面的影响系数.这样做不仅计算量大,而且不易于公式化,也不易于理解.文中给出的计算方法不仅便于理解,而且考虑到矩阵的特点,计算方便.

　　1　方法简述及其公式导出^[3,4]

　　截面状态向量含有4个分量,即δ,θ,M和Q.对于轴系的第一个和最后一个截面,根据边界条件可知其中两个分量.这样共有4个未知量.考虑到传递矩阵方法是从第一个截面传递到最后一个截面,因此,中间矩阵应包含所有已知量和未知量.这样便有m(m为轴承个数)个支反力未知量.如果直接求总体传递矩阵,则方程组不可解.考虑到各轴承的变位值为已知,可在每两个轴承之间解一次方程,消去一个支反力变量,传递到最后一个截面时,便不会有支反力变量,因此方程组可解.不难看出,该方法具有明显的递推关系.设变截面连续梁如图1所示,轴系两端自由。

　　轴承总数为m个,截面数为n;δ,θ,M,Q分别为截面挠度、转角、弯矩和剪力,R为支反力;Ttij为第t-1和第t个轴承间的跨间矩阵的矩阵元素;1≤i,j≤5.

　　则由第一个截面传递到第一个轴承的左截面可得如下方程(右上角L表示左截面)

　　由于支反力的作用,轴承处的截面剪应力左右不同.容易得知右截面的状态向量中的剪力分量与左截面的剪力分量相差一个支反力,即右截面的状态向量可写为

　　因此,从第一个轴承右截面处传递到第二个轴承左截面处可得如下方程.

　　将上式展开,消去R1,并将式(5),(6),(7)代入,整理有

　　同理,由第二个轴承右截面传递到第三个轴承左截面处时,也可得到类似的等式.

　　注意,式(17),(18),(19)只含有未知量δ1.

　　根据边界条件,第n个截面的状态向量只有2个未知量,另外还有未知量Rm,一共4个未知量,4个方程,可解.

　　对上面的矩阵方程,令Mn=0,Qn=0,并展开可得

　　将式(24)、(17)、(18)、(19)代入式(22)即可求得δ1.由式(1)可求得θ1,进而可求得各轴承处的支承反力.从而可求出任意截面的状态向量的值.对上面各式进行整理,可得出计算通式如下.

　　显然,当轴系首端(截面n处)边界条件改变时,可作类似推导.

　　2　算法的VB实现及计算实例

　　上述算法VB环境下很容易实现.但由于要求解矩阵方程,所以需用到一个动态链接库MMatrix.dll.该库包含有一系列的与MatLab函数对应的函数,能很方便地用它来求解方程和方程组.将该库复制到系统目录下,然后进行注册,就可在VB的“ProjectReferences…”菜单下看到此库.将其选中即可.