多自由度结构受迫振动中的能量共振

    0　引　言

    对于单自由度结构在受迫振动中的能量共振特性,文献[1]、[2]给出了一些有意义的研究成果。而对于多自由度结构的受迫振动,人们通常的分析角度是根据结构的动力平衡方程,计算位移响应、速度响应和加速度响应[3],关心结构在受迫振动中的位移共振。本文将根据多自由度结构在受迫振动中的能量平衡方程,研究结构的能量共振。

    1　结构的能量响应分析

    1.1能量平衡方程

    有阻尼的n自由度结构受迫振动的平衡方程为

采用模态分析方法,设阻尼矩阵[C]是质量矩阵[M]和刚度矩阵[K]的线性函数,模态方程为

{φi}^T{p(t)}分别称作第i阶模态的广义质量、广义阻尼、广义刚度和广义动载;λi为第i阶模态阻尼比;ωi为结构无阻尼的第i阶模态自振频率。

对式(2)的两端同乘以.yi(t),并在(0,t)时段内积分,可得能量平衡方程

式中:为结构在t时刻的第i阶模态动能指标;为结构在t时刻的第i阶模态形变势能指标;为结构第i阶模态阻尼在0→t时段内耗散的能量;为结构第i阶模态在0→t时段内外界激励输入的能量。则动力作用过程中结构的最大能量响应H为

式中:Ei(t) = Edi(t)+Esi(t),为结构在t时刻的第i阶模态能量。

定义能耗因子为

    1.2动力响应求解

    动荷载取简谐加速度激励

式中:[G]为简谐加速度激励分量到n个自由度体系的n维空间转换矩阵;-ω为简谐加速度激励的频率;为简谐加速度激励的幅值列阵。将式(6)代入式(2)可解得第i阶模态的稳态响应[3]

根据式(7),结构在t时刻的第i阶模态能量Ei(t)为

由于λi一般很小,因此若不与(c*i)²同为小量,则Ei(t)将会很大,因而H也很大,本文将这种情况称为能量共振;如果与(c*i)²同为小量,则能量共振不会发生,因为0/0是一个不确定的量。因此对于多自由度结构,并不是在每一阶自振频率处都会发生能量共振,发生能量共振的具体频率值与振型{i}及输入的简谐加速度激励幅值列阵{¨a0}有关,下面的算例分析也可验证这一点。

    2　算例分析

    2.1计算说明

    如图1所示的混凝土柱状结构,动弹模取2.40×104MPa,泊松比取0.18,容重取2.4t/m3,各阶阻尼比设为一致;简谐加速度激励分别取a、y、z三个方向输入;边界条件为下端固定,单元形式采用六面体八结点等参单元,沿z向平均剖分为3个单元,共16个结点。

    2.2计算结果

    表1为结构的前八阶自振频率和模态类别:图2~图4分别为动力作用过程中结构的最大响应能量H、能耗因子与激励频率-ω、阻尼比λ的关系曲线。