简支梁振动可靠性的Monte Carlo模拟

　　国外学者研究了结构线性振动、非线性振动的可靠性[1-3]。 文献[4]提出了单自由度系统振动可靠性计算的一种方法，导出了固有频率和激振频率的正态联结方程。 文献[5]提出了一种进行构件振动可靠性设计的方法，建立了激振力频率与构件固有频率干涉的概率模型，给出了将导致构件损坏的强迫共振响应的概率计算公式。 文献[6]把悬臂梁的固有频率、激振力频率、平均应力、应力辐和疲劳极限处理为随机变量，提出了悬臂梁在强迫振动时不发生共振和疲劳损坏的可靠性分析方法。 文献[7]述及了整体离心叶轮的结构及其故障模式特点，在强迫振动放大系数模型的基础上，提出了离心叶轮叶片的振动可靠性分析方法，通过厚度控制来调整整体叶轮叶片的固有频率， 控制强迫振动放大系数，使之避开危险性共振或强迫振动。考虑随机因素对简支梁振动的影响， 应用Monte Carlo 模拟，研究了简支梁振动的可靠性。

　　1简支梁的振动分析[8]

　　简支梁的跨度中点有一台重量为 Q 的电动机，其转子以角速度 ω 转动。 转子偏心所引起的离心惯性力为 Fi，其垂直分量 Fisin ωt 即为周期性变化的干扰力，从而引起梁的横向强迫振动。 Fi的水平分量 Ficos ωt 引起梁的纵向振动， 它的影响远小于横向振动，通常不进行计算。 梁与电机所组成的系统的横向振动简化成一个自由度的振动系统。简支梁在静载荷 Q 作用下，静位移 △j为

　　故弹性常数为

　　由牛顿第二定律，得振动物体的运动方程为

　　其中 rx觶为阻力。 由于 K△j= Q，化简式(3)，得

　　由于系统的固有频率为

　　引用记号 C，称为阻尼系数

　　式(4)简化为

　　由微分方程理论知，当(2C)2- 4p2<0，即 C < p，式(7)的通解是

　　其中：

　　式(8)右边的第 1 部分为衰减振动，随时间增加迅速减弱，终于消失;第 2 部分则为强迫振动。在第 1 部分消失后，式(8)化为

　　其中 B 是强迫振动的振幅。

　　引入放大系数的记号

　　振幅 B 可写为

　　其中

　　简支梁跨度中点的最大挠度为

　　在线弹性范围内，材料服从虎克定律，则应力、载荷和变形之间成正比关系。梁在静平衡位置时的最大静应力 σj与在最大位移位置时的最大动应力σd max之间关系是

　　同理

　　故有