计算粘弹结构动力学参数的新模态应变能方法

　　粘弹结构在噪声与振动控制领域己得到广泛应用，如阻尼支架结构、整星隔振器、阻尼板等^[1-4]。然而准确地计算粘弹结构的动力学参数一直存在困难，其中一个原因是粘弹结构刚度矩阵为复数矩阵，有限元计算时涉及到复特征值求解，计算效率远低于实特征值问题。对于粘弹结构复特征值问题，近年发展出的各种近似计算方法，如模态应变能法、模型缩聚法^[5]、矩阵摄动法^[6]等，其中后两者涉及矩阵底层算法，工程应用并不广泛。

　　模态应变法(Modal Strain Energy，简称MSE方法)因计算简单、快速在粘弹结构的工程计算中得到广泛应用^[7]。该方法认为粘弹结构损耗因子可由粘弹性材料损耗因子及粘弹性材料应变能与粘弹结构应变能之比给出(由于是针对模态应变能方法的讨论，环境温度及频率对粘弹性材料性能的影响暂不考虑)。当粘弹性材料具有较低损耗因子时，模态应变能法可满足工程计算精度要求。随着粘弹性材料损耗因子或粘弹性成分的提高，该方法的误差增大，且对粘弹结构损耗因子的计算结果偏大^[7]。

　　近年来，一些学者对模态应变能方法进行了改进。考虑粘弹性材料损耗模量的影响，将粘弹性材料的模量用复模量的绝对值替代的方法即绝对值模态应变能法^[7](Absolute Value Modal Strain Energy简称AVMSE方法)。当结构中粘弹性成分较大时，AVMSE对损耗因子的近似计算给出更准确的结果^[7-8]。 Rongong对绝对值模态应变能法做了进一步修正^[9]，认为粘弹性材料的应变能还应乘以一个修正系数，该方法不妨简称RMSE方法。研究表明^[7], RMSE方法使特定结构的计算精度有了显著提高，且损耗因子计算结果是真实值的下界。

　　然而不论是AVMSE方法，还是RMSE方法对粘弹结构不同阶次模态的修正因子均相同。一般来说，粘弹结构不同阶次模态具有显著不同的损耗因子，相同的修正因子可能造成过量修正或修正不足。考虑一种基于损耗因子幅值的新修正方法将有可能提高计算精度。依据这一思路，文中首先分析了已有模态应变方法的原理及其内在关系，然后提出了一种新模态应变能修正方法，以四参数原型系统和新型高阻尼航天载荷隔振器作为算例，对比验证了所提修正方法的精确性。

　　1 粘弹结构复模态理论

　　对于粘弹结构，刚度矩阵为复数矩阵，运动方程可写为:

　　式中M为刚度矩阵;X为位移向量;K _eR为除粘弹性材料以外的结构刚度矩阵;K_vR为粘弹性材料刚度矩阵实部;K_vI为粘弹性材料刚度矩阵虚部;j为虚数单位，下同;为简化表述，不妨设粘弹结构中只含一种粘弹性材料，则当粘弹性材料损耗因子为η_v时: