同轴度误差的解析评定法与仿真研究

　　同轴度误差对机器和仪器的性能有很大影响。准确地求得符合定义的同轴度误差测量值,一直是一些有关学者研究的课题[1~3]。本文在推导同轴度误差解析评定数学模型的基础上,着重对此方法进行仿真分析。

　　1　同轴度误差解析评定的数学模型

　　1·1　最小二乘评定法数学模型

　　将被测零件置于空间直角坐标系OXYZ中,且令OZ轴为采样时的回转轴线,如图1所示。对基准实际要素,在垂直于OZ轴的正截面轮廓上等角度间隔的离散采样,采样数据为Pij(Δrij,θij,zj) (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)。对被测实际要素,也在垂直于OZ轴的正截面轮廓上等角度间隔的离散采样,采样数据为QIJ(ΔRIJ,θIJ,zJ) (I=1,2,…,M;J=1,2,…,N)。其中,Δrij、ΔRIJ为采样值;θij、θIJ为各采样点处角度值;zj、zJ为各采样截面沿Z轴的坐标值。若基准实际要素各采样截面轮廓的最小二乘圆心为Oj(aj,bj,zj),被测实际要素各采样截面轮廓的最小二乘圆心为OJ(aJ,bJ,zJ),则有[4]

　　式中: m为基准实际要素各采样截面轮廓上的采样点数;n为基准实际要素采样截面数;M为被测实际要素各采样截面轮廓上的采样点数;N为被测实际要素采样截面数。

　　1·1·1　基准轴线的建立

　　若取基准实际要素的最小二乘轴线L为基准轴线,设L与XOY坐标平面交点为A₀(x₀,y₀,0),其一组方向数为(u,v,1),在离散采样的情况下,其准轴线方程可写作

　　各采样截面轮廓的最小二乘圆心Oj至基准轴线的偏差为

　　由最小二乘原理可求得基准轴线的四个待定参数:

　　1·1·2　计算同轴度误差

　　被测实际要素各采样截面轮廓的最小二乘圆心OJ至基准轴线L的距离为

　　1·2　最小条件评定法数学模型

　　以包容基准实际轴线且直径为最小的理想圆柱面的轴线作为基准轴线来评定同轴度误差的方法称为最小条件评定法。设基准轴线通过XOY坐标平面上的点为P0(x′0,y′0,0),其一组方向数为(u′, v′,1)。则基准实际要素各采样截面轮廓的最小二乘圆心Oj至基准轴线L的距离为

式中: Oj={aj,bj,zj}; P0={x′0,y′0,0}; S′={u′,v′,1}。

　　以上述轴线为轴且包容基准实际轴线的理想圆柱面的半径为Rjmax=max{Rj}。将Rj视为x′0、y′0,u′、v′四个变量的函数,则确定最小条件的基准轴线可表示为如下无约束最优化问题[5]

　　其中目标函数为f(x′0,y′0,u′,v′)=Rjmax。

　　假设问题的最优点为V′={x*0,y*0,u*,v*},则被测要素各采样截面轮廓的最小二乘圆心OJ至基准轴线的距离为

　　式中: OJ={aJ,bJ,zJ); P*0={x*0,y*0,0}; S*={u*,v*,1}。因此符合最小条件的同轴度误差为