函数量均值和均值函数量的不确定度

　　直接测量量x的函数y,对直接测量量可以多次独立重复测量n个值x_i,i=1,2,…n。由此确定y=f(x)函数量之值时,可能有

　　其中x₀=(1/n)∑_xi为多次测量值的平均值

　　现在问题是式(1)所得函数量的均值与式(2)均值的函数量有什么差异。

　　视x为随机变量,以字母v表示求方差的算符,对式(1)和式(2)分别求方差,有

为x_i的测量标准差估计值;df/dx_i为导数df/dx当x=x_i时的值。

由式(3)和式(5)可知,y和y₀的方差形式相仿,其差异就在于两个平方项传播系数之间的不一致,为此,将(df/dx)²i在x₀附近作台劳展开:

式中,R(3)表示含有(xi-x₀)³以上幂次的余项。作为一种近似,把余项R(3)略去,并注意到x₀和x_i的均值,有

两方差之差

由式(7)可见:

　　1·当f(x)为线性函数时,Δ=0,两者无差别;

　　2·当f(x)为x的二次及二次以下多项式时,由于第二项为零,第一项为正,则

　　v{-y}>v{y0}

　　3·当f(x)为x的真分数幂或负次幂时因

Δ的正负未定,两方差大小也不定;

　　4·当f(x)为以x作指数的函数时,例如f(x)=ke^ax的形式,则当a>0时,Δ为正值;a<0时,Δ的正负不定;

　　5·对其它函数形式可以相似讨论。

　　例一、对直径d独立重复测量多次,计算球的体积

　　di:10·003,10·007,10·001,10·004,10·000(mm)

由上,直径d测量平均值d0为:

　　d₀=10.003mm

　　-V=1000.90045mm³

　　V0=1000.90027mm³

　　df/dxi为157·17389, 157·29962, 157·11105,157·20532,157·07963

　　按式(3)和式(5)也可直接观察到

　　v{-V}≈v{ V0}

　　例二、某种液体的运动粘度在20℃附近范围内遵从

　　υ=υ₀e^-α(θ-20)

　　α为正常数,θ为摄氏温度数。

　　θ_i:20·03,20·07,20·01,20·04,20·00(℃)

式中,α为百分之几的数,e^-0.06α接近于1,故Δ值甚微小。

　　由上所述,均值的函数量与函数的均值从量值大小看无显著差异,其不确定度的差异量是测量不确定度的二次量级。因目标为函数量,故用函数的均值一般较好。

　　参考文献

　　[1]李慎安等·JJF1059-1999测量不确定度评定与表示·中国计量出版社

　　[2]刘智敏、刘风等·现代不确定度方法与应用·中国计量出版社,1997

　　[3]刘智敏·不确定度及其实践·中国标准出版社,2000

　　作者：胡国成