测量数据的单位权化和单位权标准差

　　1　引　言

　　在科学研究或高准确度测量中,往往在不同的测量条件下,用不同的仪器,不同的测量方法,不同的测量次数以及不同的测量者进行测量与对比,这种测量称为不等精度测量。由于不等精度测量各个测量结果的不可靠程度不一样,因而不能简单地取各测量值的算术平均值作为最后测量结果;而应让可靠程度大的测量结果占的比重大一些,可靠程度小的占比重小一些;这种可靠程度大小的数值表示就是该结果的“权”。而[4]中却将这种“权”赋予“残差”:“将各残差vi分别乘以各自的权的平方根,得加权残差vi′=vi,一般认为vi′的权为1,那么就可将vi′看成是等精度的,………,那么vi′的权是否等于1?”,这段虚拟的假设,引出了虚拟的结论。以下为行文方便,先引入一些记号和术语:

　　设对某量进行n次独立测量,测得值x1,x2,…,xn;对应的方差为σ21,σ22,…,σ2n;且一般地至少有i和j使σ2i≠σ2j(i≠j;i,j=1,2,…,n)利用xi的理论假定分布作极大似然估计可得测量结果的估计量为:

　　方差是:

　　取xi的权pi∝1/σ2i,则有p1:p2:…:pn= 1/σ21:1/σ22:…:1/σ2n固定某结果xk的权pk= 1(因权值是相对的,做到这一点并不困难),称pk为单位权,称σk为单位权标准差,记σ0,于是

　　在以上这些尽人皆知的假定下,有谁会将“加权残差”(应说加权测量结果所得残差)的权认为是1呢?等精度测量结果所得残差是否一定有相同的权(应说相同的方差或标准差)?测量数据的随机误差和残差有何区别和联系?本文就这些基本概念和理论提出自己的看法,以就教于同行专家。

　　2　vi′的权不是1,但xi却是等精度测量的结果

　　如引言所述,加权的目的是为了权衡非等精度测量数据对最终结果贡献的大小,权的大小是相对的,而加权的对象是各个非等精度测量的数据,加权的原因是由于非等精度测量数据精度不同因而不便利用算术平均去综合得到最终结果。为此,我们采用单位权化方法对每一非等精度结果加权得:

　　可见对测量结果乘以各自权的平方根,确已达到单位权化的目的;这说明尽管x1,x2,…,xn是不等精度的测量数据,但却已成为等精度测量的结果,按独立的n次等精度测量的数据处理,这时单位权标准差σ0的最佳估计量是:

　　这一结果随σ2i不同而不同。但这并不影响具有相同的方差(即σ20)或测量精度,也就是说等精度测量并不一定非去要求残差具有相同的方差,而只要求测量结果或说测量随机误差有相同的方差。在[1]中p101,p85里多次提到等精度测量的概念系指测量误差ζ1,ζ2,…,ζn服从相同的概率分布N(0,σ2);即若ζi~N(0,σ2)等精度测量即指σ21=σ22=σ2n;而并未要求其残差vi还要有相同的方差甚至权还要等于1。事实上,残差和随机误差两者是有联系的,但并不等同。