基于Mie散射理论的微球体颗粒数值模拟计算和实验研究

　　0　引言

　　微粒测量技术广泛应用于工业、医药、环保、大气等领域[1]，有效地测量与控制颗粒粒度及其分布，对提高产品质量、降低能源消耗、控制环境污染等具有重要意义，已经成为当今国内外研究的重要课题。多年来，人们发展了多种基于不同工作原理的微粒粒度测量方法[2]。早期的光学测试技术是基于 Fraunhofer 衍射理论进行粒度测量[3,4]，该理论由于计算简单快捷而被广泛采用，但其较小的测量范围限制了它的应用。

　　1908 年，德国科学家 Gustav Mie[5]基于麦克斯韦方程组及适当的边界条件，解出了任意直径、任意成分的均匀介质球颗粒在单色平面波照射下远场散射的严格数学解。之后 Mie 散射理论不断发展和完善，但是其计算过程十分复杂。随着科学技术特别是计算机的发展，该理论以其可用于任何尺度颗粒测量的最大优点，近几十年来得到了广泛的推广[6]，至今人们对 Mie 散射理论的应用研究仍在进一步深入。

　　本文将 Mie 散射理论应用于微粒粒度测量中，模拟了散射角在 0~π 范围内的散射光强度与粒径大小的变化关系，分析了相对折射率 m 的大小对散射光强度的影响。

　　1　原理与方法

　　根据 Mie 散射理论[7]，如图 1 所示，假设平面线偏振光沿 z 轴正向传播，电场振动方向与 x 轴平行，距离散射体中心 r 处 点的散射光强为：

　　i1(θ) 和 i2(θ) 用散射振幅函数可以表示为：

　　这里，an和 bn称为 Mie 系数，是与 Bessel 函数和Hankel 函数有关的函数;πn(cosθ) 和 τn(cosθ) 为散射数，是关于Legendre函数的函数，只与散射角θ有关。

　　Mie 系数表达式：

　　散射角函数表达式：

　　θ1~θ2散射角范围内的光能量服从 dE=Isds，可写为：

　　2　数值模拟计算

　　式 (8) 和式 (9) 中的满足以下递推关系[8]

　　式(10)和式(11)中的πn(cosθ)和 τn(cosθ)满足以下递推关系：

　　根据上述 Mie 散射理论的有关公式及其递推关系，可以计算出散射光强度。图2是对不同的相对折射率m，当 λ = 650 nm，入射光强 I0取单位强度，散射角 θ 取 0~ π 范围内时散射光强度与粒径 (1~10 μm) 之间的变化关系。

　　从图 2(a)，2(b)(图 2(a)，BK7 材料玻璃微球与水的相对折射率;图 2(b)，聚苯乙烯微球与水的相对折射率)可以看出变化关系曲线出现一系列的极大和极小值。从数学角度，Mie 系数 an和 bn都有因子，而 J 函数具有一定的周期变化结构，因此出现了周期性变化的极大和极小值。从物理学角度，可用粒子的“谐振”来解释，在谐振峰值附近球形粒子出现一定的接近于自持的电磁波振荡模式，当入射光波长在球形粒子半径符合谐振条件时，其散射强度大于其周围的点，便出现了曲线上的峰值。图 2(c) 是相对折射率 m=1.57-0.56i 的某种烟雾粒子的散射强度与粒径间的变化曲线，当粒子吸收增加时，即 m 的虚部增加时，波纹消失曲线变为光滑，这是由于吸收对共振的消弱作用引起的。