自动控制理论 第一章 自动控制的基本概念 1.3 控制系统的分类

3.6 状态方程的解

3.6  状态方程的解

以上讨论的控制系统的分析方法，都是基于控制系统的数学模型是传递函数或输入——输出微分方程。在时域分析中，若控制系统的数学模型是状态空间表达式，我们就必须考虑状态方程的求解问题。

3.6.1  线性定常系统状态方程的解线性定常系统的状态方程为

　　(3.107)

状态方程的求解，就是在给定的初始值x(0)条件下，确定系统在输入u(t）的作用下在t时刻的状态响应x(t)。线性定常系统的状态方程是一个一阶微分方程组。它的每一个方程都是一个线性定常微分方程。所以，我们先来讨论一下一阶微分方程的解法。设一阶线性微分方程为

　　(3.108)

式中a,b为常数，方程的初始条件为

对式（3.108）两边去拉普拉斯变换

整理后得

对上式两边进行拉普拉斯反变换得

　　(3.109)

其中，指数函数可以展开成无穷级数

　　(3.110)

状态方程是由n个一阶微分方程组成的，其解法也与一阶微分方程的解法及其类似。我们先讨论齐次状态方程的求解问题。设齐次状态方程为

　　(3.111)

初始条件为

对式（3.111）两边取拉普拉斯变换得

进而得

　　(3.112)