平方根法在截面剪力流计算中的应用

　　1 剪力流的计算公式

　　1.1 截面在剪力作用下的剪力流

　　薄壁多室箱形截面(各筋板厚长比小于1:10)在剪力作用下剪力流的计算可分两步。

　　第一步:为截面各闭室虚构一切口,使之成为开口薄壁截面。而开口薄壁截面的剪力流可用(1)式表达[1]

式中Qx和Qy分别表示整个截面承受的剪力分量;Ix和Iy分别表示截面对x轴和y轴的惯性矩;Sx和Sy分别表示长度为l的一段截面对x轴和y轴的静矩;q0表示剪力流在微元dl处的值(图1)。

　　图2所示截面各闭室编号为1~14;各室宽度分别为d1,d2,d3;高度分别为h1,h2,h3,h4,h5,h6;横筋板厚度分别为r1,r2,r3,r4,r5,r6,r7;竖筋板厚度分别为t1,t2,t3,t4,t5(由于图形左右对称,只标注一半)。为各室虚构一切口。根据式(1),从切口处进行积分,可求出图3薄壁中各处的剪力流。

　　第二步:虚构的切口造成了剪力流的间断。为使各室剪力流恢复连续,可在各室切口处附加一剪力流qi(i =1,,,14),并规定各室周边剪力流以逆时针方向为正。室i与室k公共边上的附加剪力流为qi- qk。根据虚构切口处两端相对位移为零的条件得[1]。

式中t为壁厚;q⁰为图3中的开口截面剪力流;表示沿第i室壁厚中心线闭合周边积分;表示沿室i与室k公共边求积分。

　　式(2)是关于附加剪力流q1,q2,,,qn的线性方程组,是第i个方程的常数项。方程组的系数矩阵为

　　矩阵A= (aij)14@14是一个对角占优的实对称矩阵[2]。

　　1.2 截面在扭矩T作用下的剪力流

　　设图2所示截面在扭矩T作用下各室剪力流为qci(i =1,,,14),设第i室壁厚中心线所围的面积为Fi,C为截面扭转刚度,由薄膜比拟法可得[1]

　　其中积分符号与式(2)相同,方程组(3)的系数矩阵A与方程组(2)完全相同,只是常数项不同。解方程组(3)可求出扭矩产生的剪力流qci(i =1,,,14)。

　　2 平方根法概要

　　如果A为n阶对称正定矩阵,则存在一个实的非奇异下三角矩阵L使A = LL^T,这里L^T是L的转置矩阵。当限定L的对角元素为正时,这种分解是唯一的。令A和L的元素对应如式(4)。

　　其中lii>0 (i =1,2,,,n),由矩阵乘法规则及ljk=0 (当j < k)得

　　于是得到解对称正定方程组AX = b的平方根法计算公式

　　对于j =1,2,,,n

　　求解方程组AX = b转化为求两个三角形方程组

　　LY = b,求Y

　　LTX = Y,求X

　　平方根法解方程组的运算量是高斯消去法或一般三角分解法的二分之一[3]。