三维柔性微动平台拓扑优化设计

　　引言

　　微动工作台(或称微位移机构)是微位移系统的核心。传统的机械机构设计方法不适于微动平台的设计,而柔性机构具有构件少、无运动间隙、可实现高精度定位运动等特点,因此柔性机构在微位移结构设计领域越来越受到关注。

　　目前对柔性微动平台的拓扑优化研究主要集中于二维微动平台设计,鉴于目前对三维微动平台的应用需求不断提高,系统地研究三维柔性微动平台的设计方法具有重要的理论意义和应用价值。本文在相关研究成果基础上[1~4],探讨三维柔性微动平台拓扑优化设计方法,并应用这些关键技术编制相应的求解算法和程序,设计三维柔性微动平台,并采用ANSYS给出相关的结果验证。

　　1　有限元模型

　　在有限单元法中,Πp表示系统的总位能,是微动平台变形位能和外力位能之和,其离散形式为

　　式中　K———结构整体刚度矩阵

　　P———结构结点载荷列阵

　　a———结构的结点位移

　　式(1)中Πp离散形式总位能的未知变量是结构的结点位移a,根据变分原理,泛函Πp取驻值的条件是它的一次变分为零,δΠp=0,即

　　式中　G———单元结点转换矩阵

　　载荷列阵可以写作

　　式中　PF———结点集中力载荷

　　B———应变矩阵　　D———弹性矩阵

　　Pef———体力　　PeS———面力

　　Peσ0———初应力产生的载荷

　　Peε0———初应变产生的载荷

　　N———形函数

　　2　拓扑优化数学模型及求解

　　2·1　数学模型的建立

　　三维柔性微动平台拓扑优化设计问题,就是在给定区域内设计一个最优结构,在满足约束条件的前提下,使输出位移达到目标值。而拓扑优化就是在确定的设计域内建立最优的材料分布,因此其优化模型为

　　式中　E(0)ijkl———所选材料的弹性张量

　　Ω———设计区域　　V———设计域体积

　　Ωm———设计区域中有材料的区域

　　要得到精确的拓扑形式,通常采用材料密度方法(SIMP方法),将离散优化问题(式(4))转化成连续优化问题。

　　密度法是假定材料的分布情况存在一定的百分比,即在式(4)中引入代表材料在该单元上百分含量的连续函数ρ(x)。当ρ(x)→1时,该单元的状态为“有”,当ρ(x)→0时,该单元的材料状态为“无”。假定材料的宏观物理属性与材料的百分含量之间存在非线性关系,则式(4)就转化成