液压系统动态建模中刚性问题的研究

　　0 引言

　　刚性问题在在液压系统仿真中大量存在。若采用的数值算法不当,将会使仿真值出现单调振荡或无限增大的不稳定现象。积分步长缩至很小后,不稳定问题解决了,但又大大增加了仿真时间,而且还可能因为计算步数过多累积大量的舍入误差而引起数值失真。刚性问题的存在成为仿真技术实施中的主要障碍,长期以来一直困扰着仿真研究人员。为此很多学者做了大量的研究工作。主要有两种方法:一是在数学模型进行计算的算法上采取措施,寻求稳定域,使之在负实轴方向延续至无穷远。较有代表性的是Gear法和隐式R-K(Runge-Kutta)法及在上诉算法改进和组合基础上形成的新型算法[1~3]。这些算法存在如下不足:①不易程序实现,需要随时变换步长或逐点计算雅克比矩阵特征值等,算法效率低;②液压系统在本质上是非线性的,即特性曲线的导数不连续,如溢流阔的启闭过程等,使模型中存在奇点,从而加重了模型的刚性特征。这种方法很难奏效。二是在建立系统模型时,抓住系统的主要矛盾及本质特点,对系统进行有效的简化和抽象,从而获得既能全面反映系统本质特征,而又不致于出现或有效降低刚性问题的数学模型[4,5]。这一方法存在如下不足:①对建模人员要求较高,要对系统有充分的了解。②在液压系统键合图建模中,为了避免刚性,忽略小容腔流体的可压缩性和小质量的惯性,将导致非标准键合图的出现,从而使状态方程的形式及推导过程趋于复杂化,尤其当它与液压系统固有的非线性相互耦合时,将出现更加复杂的情况。

　　本文通过以下一些措施有效地解决了系统的刚性问题。首先,增加一个变量和方程xn+1=1,将原状态空间方程化为齐次方程,所得齐次动力方程的系数矩阵为原非齐次方程的增广矩阵[6]。其次,采用精细积分算法求解线性化后的状态方程,数值解非常准确,可以得到计算机精度的解[7]。这样,含时间的外部激励也纳入了精细积分的细化过程,同时避免了矩阵求逆所导致的数值计算不稳定性或者逆矩阵不存在等问题。因而,在编程实现和数值稳定上都更加有利。最后,采用迭代不断修正非线性系统增广阵,可以采用较大的计算步长。算例表明本文的方法具有比较高的计算精度,克服了现有方法将非线性项当作载荷处理、未纳入了精细积分细化过程的缺陷[8]。

　　1 先导式溢流阀调压系统的键合图模型

　　先导式溢流阀是液压系统中最为常见的元件之一。可作为液压元件和系统动态建模的范例。图1为先导式溢流阀的结构简图。在对阀做动态流量分析及主阀芯、导阀芯动力学分析的基础上,依据键合图基本原理和一般规则,可以绘出阀的功率键合图,见图2。