声表面波换能器电荷分布的有限元解

    0 引 言

    声表面波换能器在声表面波器件中有重要的地位。计算声表面波换能器电极上的电荷分布是获得换能器其它参数的重要数据。由于声表面波比较复杂,要完全获得确切解是很烦杂的,采用数值解法是一种有效的方法。有限元方法就是一种常用的数值方法,这种方法是在20世纪50年代中期发展起来的,它首先应用于航空结构的应力分析中,随着二维、三维弹性体动力分析的发展,有限元方法也逐渐运用于压电结构的分析中。在忽略机电损耗和电磁辐射的情况下,有限元方法理论的原则问题已经解决,压电结构有限元分析技术也已趋成熟。

    1 理论分析

    当在输入换能器的两个端子上加交变电压时,在压电基片内就会产生交变电场,由于基片是压电体,这个交变电场经过压电效应就会在基片内激发相应的弹性振动,把输入的电信号变成了声信号,合成后形成沿基片表面传播的声表面波,到达基片的输出换能器后又会把声信号又转变成电信号输出。整个声表面波器件的功能就是通过对压电基体上传播的声信号进行处理,并利用声电换能的特性来完成的。由于压电介质中存在压电效应,在弹性波传播的同时,必然出现由诱导电荷产生的电磁波,所以压电体中的声波由两组方程控制:描述声波力学性质的弹性动力学方程;描述电学性质的Maxwell方程。这两组方程在压电介质内通过压电本构方程联系在一起。如果选择应变和电场强度为自变量,应力和电位移为因变量,有压电本构方程[1]:

    式中,{T}表示应力矩阵,{S}表示应变矩阵,{E}表示电场强度,{D}表示电位移,c表示弹性劲度常数,e表示压电常数,上标T表示矩阵的转置,E为介电常数。在压电介质内质点运动的弹性动力学方程即波动方程[2]为:

    式中,F表示外加的力,在本文中设外加的力为0。

    对声表面波器件来说,它的工作频率对应的电磁波的波长通常远大于声表面波器件的尺寸,压电介质内传播的声波的速度要比电磁波慢5个数量级,在这种情况下,可以把压电耦合场当成准静态场来处理[2、3],而且压电介质是绝缘体,没有自由电荷存在,那么Maxwell方程就可以简化[1]为:

    式中,5代表电势。设声表面波传播的方向是x轴,垂直于压电介质表面为y轴,z轴平行于电极指条,同时设声表面波换能器的电极为无限长,于是所加的电极电压在z方向上没有变化,所产生的场在z轴方向上是不变的,即:

    这样就可以在二维x-y平面内研究声表面波的传播问题,本文在后面都是指在二维范围内。对于{S}和{E}有如下的关系[1]:

    利用有限元方法的单元形状函数把整个空间连续的质点位移、电位与节点的位移和电位移联系起来,对于每个单元的电位和质点位移[4]有: