结构外声场分析中的无限元法

    声场分析的数值模拟方法主要采用有限元法与边界元法。对于外声场这种无限域问题,有限元法只能人为地取足够大的有限域加人工边界来近似远场效应,由于有限域要取得比较大而增加了计算量,而且边界条件不好反映,精度不高。

    结构外声场的数值模拟主要采用边界元法[1-2],边界元法只需对辐射体或散射体的边界进行单元离散化,在边界上积分,降低了问题的维数,计算精度高,但由于奇异积分的问题,在特征频率处常存在解的非唯一性。解的非唯一性是由于Helmholtz方程转化为Helmholtz边界积分方程后在某些波数处不满足等效性引起的,近年来发展了很多改进方法,许多学者对此进行了研究。

    1977年, Bettess和Zienkiewicz提出了无限元法,无限元法是在有限元法基础上发展起来的一种数值方法,也称为无界元法,主要用于模拟无限域或半无限域问题。无限元法在弹性力学、岩土结构、水利工程、电磁场、声场等领域开始应用。无限元法求解结构的声学问题,计算效率比边界元高得多,且适于求解边界元法难以涉及的复杂结构或高频的声学问题。

    无限元将有限的空间扩展到无限大的空间,使声音辐射到无限大的空间中,无限元本质上是一种几何上无限大的有限单元。由于无限元必须与模拟近场的有限元结合使用,实际上只在一个方向上趋于无限,因此也称为半无限元,是有限元法的一种扩展,能够很好地与有限元法耦合使用,解决结构的外声场问题。

    1 无限元法的基本理论[3-5]

    无限元法引入一个包含声源的人工边界,在人工边界内采用传统的有限元,在人工边界外则采用无限元。由于声无限元只使用相邻单元的自由度,有限元与无限元耦合的系统方程矩阵是稀疏对称矩,带宽很窄,而且在网格模型中节省了大量相同矩阵单元的划分和编号,因此生成矩阵所用的时间非常少。

    无限元一般采用椭球坐标系(r,H,5),其中r为椭球面上任一点到坐标原点的距离,0FHFP, 0F5F2P,椭球的笛卡尔坐标方程为

    式中,a, b, c分别为椭球的长轴、中轴和短轴半径,它与笛卡尔坐标系(x, y, z)的关系为

    式中,f1,f2为椭球坐标系的两个焦距, b=(a2-f21)12, c=(a2-f22)12,aEbEc。当f1=f2=0时,a=b=c=r,椭球坐标系成为球坐标系,方程为

x2+y2+z2=r2(3)

    无线元网格沿r,H,5三个方向划分,每个单元的每个面都是坐标面。声场中的声压表示为

    式中,Wi为无限元的形函数。

    2 结构外声场分析的无限元法

    例如有一边长为1 m的正方体空腔,建立空腔内声场的有限元模型,对声腔进行模态分析,求得前10阶固有频率分别为171. 094 Hz, 241. 964 Hz,296. 344 Hz, 348. 792Hz, 388. 496 Hz, 424.503 Hz, 493. 267 Hz,522. 097 Hz, 539. 741Hz, 566. 210 Hz,声腔模态如图1所示。