平面度误差的不确定度估计方法及取样点数量的确定

    0 引言

    对测量数据最小二乘法处理的最终结果,不仅要给出待求量的最可信赖的估计量,而且还要确定其可信赖程度,即应给出所得估计量的测量不确定度。对正常测量计算,可参阅参考文献[1]完成。但在工程测量方案设计阶段,因无测量数据,并不知道所采用的估算方法是否合适。本文以空间平面测量为例,阐述平面度误差的估算方法、平面度误差的测量不确定度估算及测量点数量的确定方法。

    1 平面度误差及其测量不确定度的估算

    假设得到的平面采样点矩阵A有n组观测数据,分别是(xi, yi, zi), i=1,2,, n,则构成如下方程

    式中:β1,β2β0是待估参数;Ei为n个相互独立且服从同一正态分布n(0,R)的随机变量。为运算方便,采样点坐标用矩阵来表示,令

    写成矩阵形式后,有

    用最小二乘法估计参数β。设a, b, c分别是参数β0,β1,β2的最小二乘估计,则回归方程为

    求解这个三元一次方程组从而可以确定a, b, c的值,即确定了理想平面的位置。假设取样点中位于最小二乘平面两侧的最大偏离点分别为(xm1,ym1,zm1)和(xm2,ym2,zm2),则平面度误差最小二乘评定的结果可表示为[2]

    式中:D为平面度误差; di为采样点相对于平面的偏移量。

    要计算D的不确定度uD,必须确定式中每一个元素xm1,ym1,zm1,xm2,ym2,zm2,a和b的不确定度及其灵敏系数。每一个元素的灵敏系数可由下面式确定[2]:

    求解式(3)的关键是确定拟合平面的系数a的不确定度ua、系数b的不确定度ub的数值。

    依据参考文献[1],最小二乘测量准确度的估计方法,由式(1),令

    式中:dij为不定乘数的系数。

    则ua, ub的估计值为

    式中:uNmax为单侧点的最大测量不确定度。

    将求得ua, ub及取样点的不确定度ux, uy, uz代入式(3),即可计算出D的不确定度uD。

    2 问题的阐述

    在工程测量方案论证阶段,uNmax往往由检测装置来确定,为已知量;但式(5)不定乘数的系数无法确定,故ua, ub无法估算,进而无法计算uD。

    同时,测量被测参数时,采样点数的多少对测量方案成功与否有决定性的影响,由式(7)可知

    式中:R为测量数据的标准差; v为残差; n为测量次数; t为未知量数。

    未知量数t一定时,测量次数n增加,R值将会下降,可信度增加,但检测的效率下降;测量次数n减少,效率提高,R值将会增大,检测结果可信度降低。