三点法圆度测量精度分析

    为提高三点法测量圆度及轴系运动误差的精度,前人倾注了很大精力,但他们研究的注意力大都限于仅从数学上考虑了如何避免三点法的谐波加权函数X(k) = 1 +a2e-jkU2+a3e-jkU3的谐波抑制问题[1-3],而忽视了测头的读数及定位误差对测量精度的影响。事实上,仅有完善的理论算法而不考虑实际测量中存在的测量误差影响,是无法从根本上保证获得高精度测量结果的。虽有个别文献[4]注意到上述问题,但未能对测头读数及定位误差对圆周各点测量精度的影响作出透彻分析。针对上述问题,本文从三点法的原理出发,根据误差理论,详细分析测头读数及定位误差对圆度各次谐波及圆周各点测量结果的影响,从而为进一步提高三点法测量精度奠定基础。

    1　三点法测量原理

　　如图1,工件圆周上布置3个测头Pi(i=1～3),各测头与y轴夹角分别为Ui(U1=0),工件圆度为r(Hn),轴系径向运动误差的x,y向分量为x(Hn)、y(Hn) ,各测头的输出为:

    其中,Ri为测头Pi的零起读数。Hn为采样点,Hn=nõ2P/N,n=0,1,…,N- 1。

    构造线性方程

    将r(Hn)展开为Fourier级数

    设

    为分离x(Hn)、y(Hn),使

    将S0(Hn)展开为Fourier级数

    由此得到工件圆度,其中km为谐波最高级次。

    2　三点法测量系统精度分析

　　由式(10)及(11)得:

　　影响测圆精度的误差有两个,(1)测头读数误差,它影响Fk、Gk;(2)测头角位置误差,它影响Ak、Bk。

    2.1　测头读数误差对测量精度影响

    2.1.1　读数误差对圆度各次谐波测量精度影响

    此时,忽略测头角位置误差对测量结果的影响。设三个测头的读数误差为D1n、D2n、D3n。

    这样

    因为D1n、D2n、D3n为随机变量,所以cn也为随机变量。由随机变量方差与数字期望的关系[5]得

    式中,E表示求数学期望,设三个测头的方差均为R2,其数学期望均为0,则由式(15)得ECni=Ecnj= 0 ,那么,式(17)化简为

    因为D1n、D2n、D3n为相互独立的随机变量,所以

    综合上述两种情况,由读数误差引入的圆度k次Fourier系数Ak的测量误差的方差为

    2.1.2　读数误差对圆周各点测量精度的影响

    将Ak、Bk、Fk、Gk代入(3),整理得

    其中1。当s1(Hn)、s2(Hn)、s3(Hn)存在测量误差D1n、D2n、D3n时,引入r(Hp)测量误差为