圆度误差的最小二乘法、最小包容区域法和最优函数法评定精度之比较

    0 引言

    圆度公差是评价回转体零件的一项重要精度指标,它用于控制被测圆柱面任一正截面上的实际圆相对于理想圆的变动量[1]。圆度误差的大小将直接影响到零件的回转精度、配合面的接触状况及耐磨性等,因此圆度误差的精确测量与评定无论对零件合格性的判定,还是对圆度误差产生原因的判断与消除都是十分重要的。随着三坐标测量机、圆度仪等自动数据采集仪器日益广泛的应用,坐标测量值原则越来越有取代测量特征参数原则和控制实效边界原则之势成为圆度误差的主要测量原则[2]。基于测量坐标值原则下圆度误差的测量一般在圆度仪或三坐标测量机上实现。GB/T7235-2004规定了圆度误差的4种评定方法:最小区域法、最小二乘法、最小外接圆法和最大内接圆法[3]。其中,最小二乘法因其理论成熟、算法简便易行等优点应用最为普遍,甚至被列为欧美国家的标准。但最小二乘法并不能提供满足最小条件的圆度误差评定结果。研究人员研究了多种方法以获得最小区域的圆度误差评定结果,但这些方法大都由于算法复杂,不易被工程实际人员掌握。本文提出最优函数法评定圆度误差的数学模型,深入探讨了最小二乘法、最小包容区域法和最优函数法的算法模型与实现方法。

    1 圆度误差评定的最小二乘法

    设(xi,yi),i=1,2,,,n,n>3为被测实际圆周上的测量采样点。设待求最小二乘圆的方程为:(x-x0)2+(y-y0)2=R2,其中(x0,y0)为最小二乘圆的圆心,R为最小二乘圆的半径。令

    最小二乘法的目标函数为,约束条件是J(x0,y0,R)ymin。要满足约束条件,必须有

    将方程组(1)展开并化简得

    最小二乘圆的圆心(x0,y0),最小二乘圆的半径R由方程组(2)求得。由此,实际圆的圆度误差的最小二乘法评定结果为

    2 圆度误差评定的最小区域搜索法

    设(xi,yi),i=1,2,,,n,n>3为被测圆周上的测量采样点。采样点可以是均匀分布或非均匀分布,采样点数目可以是偶数或奇数。区域搜索法评定圆度误差的基本方法如下:

    首先,在已经测得的被测圆周上的有效测量采样点(xi,yi),i=1,2,,,n,n>3中取3点(该3点大致在被测圆周上均匀分布),以此3点拟合初始圆,求取初始圆的圆心。设(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)为所取的3个测量采样点,初始圆的方程为

(x-x0)2+(y-y0)2=R2(5)

    (x0,y0)为待求的初始圆的圆心。将所取的3个测量采样点的坐标代入初始圆方程,有

    将方程组(6)化简得