叶片在水体下的模态分析

    0　引言

    以往叶片在水体下固有频率的计算都是根据GE公司的经验,先求出在空气中的固有频率,然后确定一个修正系数,即将空气介质中的自振频率乘以修正系数,来获得叶片在水体介质下的固有频率,因此计算存在一定的误差。这就造成在计算得出的固有频率不发生共振,而实际的结构在水体下却发生了共振。因此修正系数法存在一定的缺陷。经过分析可以得知,当叶片处于水中时,叶片的振动必然引起水体压力的波动,这时的叶片就变成了一个典型的液体和弹性体的耦合振动问题。本文提出了一种有效解决该问题的方法。

    1　模态分析基本方程

    振动结构的运动微分方程组为

  　[M]{x¨} + [C]{x·} + [K]{x} = {F} (1)

    对n个自由度系统[M]及[K]都是n×n矩阵,它们构成系统的空间模型。在对叶片进行模态分析时,由于阻尼比较小,所以忽略阻尼的作用,即[C]=0;采用自由振动的方式建立系统的模态模型,得到模态分析的运动微分方程组为:

    [M]{x¨} + [K]{x} = {0} (2)

方程中均包含系统各点的物理坐标,因此是一组耦合方程[1]。当系统的自由度很大时,求解十分困难。能否将上述耦合方程变成非耦合的、独立的微分方程组,这就是模态分析所要解决的根本任务。模态分析方法就是以无阻尼系统的各阶主振型所对应的模态坐标来代替物理坐标,使坐标耦合的微分方程解耦为各个坐标独立的微分方程组,从而求出系统的各阶模态参数。该运动微分方程组的解的形式为:

　{x} = {XM}sin(pt+φ) (3)

系统的特征行列式为:

　 [K] -p²[M] = 0 (4)

从而求出各阶固有频率的平方和各阶固有振型为列组成的模态振型矩阵。

    2　固液耦合振动微分方程的建立

    由于考虑水体的影响,必须建立水体的单元模型,根据Navier-Strokes(纳维-斯托克斯)方程[2]可以推导得出:

式中,c是在液体介质中的声速是液体的体积弹性系数,ρ0是液体的平均密度;p是声压,是位置的函数;t表示时间。经过一系列的运算,空间压力和位移的变化可以用有限元的形函数近似表示为:

  　p= [N]^T[p_e]

    X= [N′][X_e]          (6)

式中,[N],[N′]分别为单元的压力与位移形函数;[pe],[Xe]分别为节点的压力与位移矢量。

    为了完整地描述液固耦合问题,作用在界面上的压力必须添加到方程(1)中,因此方程改写为:

因此固液耦合的振动微分方程如式(10)。

    3　叶片模型与水体模型的建立[3]

    采用三维CAD软件UG,根据三坐标测量仪测得的表面曲线点,使用Spline Through Points生成轮廓的样条曲线,经过曲线的光顺处理后,用Sweep扫描而成,而内部的孔则有两侧端面上的曲线做直纹面而成,最后进行布尔运算。生成叶片的三维CAD模型如图1,随后进行圆周阵列得到整体模型如图2。