绘制受弯构件内力图的快捷方法——面积法

　　结构计算的一个重要目的就是保证建筑物的安全性，其中，强度计算的依据是构件的内力分布情况。工程实际中，弯曲变形是构件最为常见的变形形式。教科书上介绍的做弯曲构件剪力图和弯矩图的方法主要有以下几种[1]。(1)先列出剪力方程和弯矩方程，再根据方程计算出各特征截面的剪力和弯矩值，分段画出剪力图和弯矩图的大致形状。此法特别繁琐，且容易出错。(2)利用弯矩、剪力和分布荷载集度间的微分关系画图。先将结构分段，再根据荷载、支座情况确定控制截面，利用截面法求出各控制截面的内力值，绘出控制点，然后根据荷载与内力之间的关系，判断各段的图形形状，将各控制点用直线或曲线依次连接起来，得到内力图。此方法也需多次利用截面法计算各控制截面的内力值，计算量较大，较繁琐。(3)叠加法画图。当构件受几个荷载共同作用时，先绘出结构在各荷载单独作用下的内力图，再将它们叠加，便得内力图。但是，此法不适合荷载复杂的情况。根据弯矩、剪力和分布荷载集度间的微分关系作图较简便，目前应用最多。笔者在教学与实践中发现，利用弯矩、剪力和分布荷载集度间的积分关系作图会更为简便。这种方法仅需简单计算荷载图形和剪力图的面积，就可快速、准确地解决问题，对受弯构件内力的定量分析有很大帮助。

　　1 q (x)、 Q (x)、 M (x)的积分关系

　　1.1 q(x)、Q(x)的积分关系

式中：q(x)—分布荷载集度(kN/m);

　　Q(x)—任一截面剪力值(kN);

　　QA—A 截面剪力值(kN);

　　QB—B 截面剪力值(kN)。

　　其含义为：A、B 两截面处剪力的差值等于这两个截面间分布荷载图形的面积。

　　1.2 Q(x)、M(x)的积分关系

式中：M(x)—任一截面弯矩值(kNm);

　　MA—A 截面弯矩值(kNm);

　　MB—B 截面弯矩值(kNm);

　　其含义为：A、B 两截面处弯矩的差值等于这两个截面间剪力图图形的面积。

　　利用以上给出的积分原理作受弯构件的内力图，将利用截面法计算控制截面的内力值，转换成了用简单的数学运算计算荷载图形和剪力图图形的面积问题，有效地减少了计算量和计算难度，从而使出错的几率大大降低。尤其是对于常用的梁，其荷载图形与剪力图形多为直线段组成，故其面积值的计算更为简单。这种绘制内力图的方法为面积法。

　　2 应用面积法时的具体说明

　　坐标轴的建立是以杆轴为 x 轴，向右指为正，Q 轴以向上为正，M 轴以向下为正。

　　对于承受集中力、分布力和集中力偶的直梁，它的剪力图可根据所受荷载作出，任一截面的剪力等于截面左侧分布力q(x)和 x 轴所围成的面积与截面左侧所有集中力的代数和。在所取截面左侧的集中力、分布力以向上为正，向下为负。此时，不需考虑集中力偶的作用(集中力偶对剪力图变化没有影响)。 由式(1)求得的剪力Q为正时，对所取梁段有顺时针转动趋势，与常用教材中约定的方向一致。