静定和静不定杆系结构中节点位移的一种计算方法

　　在土木、机械工程中,房屋建筑、桥梁、电视塔、起重机等杆系结构的设计计算中常要计算节点的位移和建立变形协调方程。常用的方法是几何法和能量法[1~3]。前者是在画出节点位移图的基础上寻找杆变形和位移的几何关系,特点是直观,但即使对简单结构也存在作图不易、找关系困难的问题;而后者包括卡氏定理、莫尔积分和单位力法等为工程设计中广泛采用。为克服几何法的困难,文献[4]用节点位移微分表达杆的变形,文献[5]用结点的位移表达杆的应变,文献[6]建立杆的端点位移与杆变形的关系来简化求解过程。本文的目的是改进几何法,将刚体运动学中的速度投影定理推广到弹性杆,通过定义沿杆的单位向量,建立杆变形和位移的几何关系,用于计算杆系结构的节点位移和静不定杆系结构的变形协调方程。本文综合文献[4~6]的长处,具有概念清楚、直观、程式化的特点,且有普遍性。

　　1　基本方法

　　在刚体运动学中,速度投影定理刻画了刚体的基本特征:刚体上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。对于杆系结构中连接两节点AiAj的弹性杆lij,定义沿杆从节点Ai指向节点Aj的单位向量为l0ij,则两端点的位移向量Δri、Δrj和杆的变形Δlij存在如下关系:

　　当Δlij>0(<0 )时杆为伸长(缩短),这是刚体速度投影定理对受拉/压变形的弹性杆的推广。在小变形的条件下,平衡条件只对变形前的位形满足,因此,变形前的单位向量为l0ij很容易写出。对于简单平面桁架,杆数m和节点数n存在关系:m=2n-3。考虑到支座杆与节点重合,且固定铰和滑移铰都是刚性的,因此节点的位移分量与杆数相等,其系数矩阵是满秩的,可以从式(1)解出位移分量,即用杆的变形表达节点的位移。对于内力静不定杆系结构,存在多余杆,由式(1),此多余杆的变形可以用其余杆的变形表达,即得变形协调方程。注意到式(1)的结果与文献[6]一致,但借助单位向量,使建立此方程的过程简单且程式化,并具有普遍意义。

　　2　算　例

　　例1　图1所示为平面杆系结构(两支座位移为零),已知1、2、3杆长为l,各杆的抗拉/压刚度均为EA。求在载荷F作用下节点C、D的位移。

　　设i,j为沿坐标轴方向的单位向量,节点C、D的位移表为

　　各杆的单位向量为

　　由式(1),依次对杆列出:

　　这是关于位移分量ΔxC、ΔyC、ΔxD、ΔyD的线性代数方程,解得

　　因为静定结构,容易求得各杆的轴力和变形,由此得节点的位移

　　当增加BD杆,成为静不定结构,列出

　　则

　　式(2)~式(6)5个方程可以看作关于未知量ΔxC、ΔyC、ΔxD、ΔyD和Δl5的,解出