预扭对大挠度柔性梁变形影响的非线性分析

　　梁在许多的机械中都是重要的结构单元。有些梁在运动中会产生很大的变形，常常需要施加预扭角以控制其变形程度，如直升机无轴承旋翼的桨叶等等，因而有必要研究预扭角变化与柔性梁变形的关系。由于这些梁是大变形，其结构分析需要采用非线性的方法。在以往的文献中，科研工作者采用 Lagrange 方程研究了耦合变形对大范围运动柔性梁动力学建模的影响[1]。一些科研工作者将位移等状态量写成增量形式，采用T.L 法计算了大挠度薄壁梁的变形[2]。他们没有考虑预扭角对变形的影响。Rose等采用主曲率变换方法对考虑弹性耦合大挠度柔性梁的变形进行了计算[3，4]，考虑了预扭角对变形的影响，但是结果与实验数据比较存在一定的差异，特别是弹性扭转角与实验的结果偏差较大。

　　利用Green-Lagrange应变张量建立了大变形、大转动、小应变条件下梁的预扭角与位移的联系，应用Hamilton原理得到大挠度梁的运动有限元方程，研究了预扭角变化对大挠度柔性梁变形的影响。

　　1 预扭角与位移的关系

　　柔性梁变形前后的几何形状及坐标系，如图1 所示，其中坐标系i₁、i₂、i₃为惯性坐标系，局部坐标系 e₁、e₂、e₃固定在梁的参考线上，e1与参考线相切，e₂、e₃在横截面内，x、x₂、x₃是曲线坐标。

　　假设变形过程中梁的横截面在其本身的平面内无变形，即梁变形后参考线的基向量 E₂、E₃仍在横截面内，且与e*2、e*3方向一致，所以 E₂和 E₃互相垂直，但是梁变形后参考线基向量E₁不再与 E₂、E₃垂直。坐标系 e*i定义如下：

　　如图2 所示。则有：

　　由 Green-Lagrange 应变张量及小应变条件得工程应变 ε11，12γ和 13γ分别为

　　整理得：

　　至此建立了预扭角与变形位移之间的关系，适用于柔性梁上任意点产生大挠度、大转动和小应变的情况。

　　2 有限元方程的建立

　　梁的运动方程可由 Hamilton 原理获得：

　　柔性梁应变能的变分为：

　　将单元矩阵叠加成总体矩阵，可得梁的有限元方程：

式中：K—柔性梁的总体刚度矩阵;Q—总体广义力向量。

　　3 算例分析

　　假设预扭角沿梁轴向是线性变化，根据上述理论对文献[6]的柔性梁“杆Ⅱ”进行计算“，杆Ⅱ”主要参数，如表1 所示。计算结果如图3~5 所示。

　　如图3~5所示，当β=0时计算结果与实验数据吻合很好，可见模型的计算结果是可靠的，而且比文献[3，4]的主曲率变换方法更为准确。如图 3 所示，β=0 时梁顶端的最大侧向变形为 182mm，β=8°时为216mm，变形增大约为 1/6，β=16°时为 249mm，变形增大达到约 1/3，β为负时减少比率大致相同，可见预扭角对侧向变形的影响是很大的。