矩形小孔对薄板弯曲应力集中的影响

　　薄板结构内含一个圆孔或椭圆孔的应力集中问题,可以用简单的数学方法进行分析,并且能得到解析解.对于矩形孔的情况,可以用数值方法进行计算. Savin利用保角变换和复变函数法对该问题进行了研究,通过把直角变换成圆角,直边变换成曲边,得到了平面区域内应力分布的数值解[1]. Timoshenko,Pilkey, Young和Troyani等人先后用该方法研究了薄板弯曲时的应力集中问题,并且绘出了各种情况下应力集中系数的图表[2-5].

　　随着计算机的出现和普及,有限单元法得到了迅速的发展,并且显示出了在力学计算中的优势.利用有限元法,科学家们可以计算任意形状孔和任意荷载作用下的应力集中问题[6-8].除此之外, Toubal[9]和Younis[10]还用试验的方法研究了含孔薄板的应力集中问题.

　　以上研究,都只能得到近似的结果,当小孔的尺寸改变时,必须重新进行计算;而且当孔的尺寸相对于薄板来说太小时,耗费的计算量就更大了.本文提出了一种能对含矩形小孔薄板弯曲时的应力集中问题进行解析研究的方法.

　　U变换法是一种精确的解析方法,能对周期结构进行精确分析[11-12]. Liu等将U变换和有限差分法及有限单元法相结合,分别研究了简支梁和矩形薄板的静力、动力问题,得到了有限差分解和有限元解的收敛率和误差项的精确值[13-14].最近,笔者利用U变换法研究了无限长薄板内含矩形小孔平面域内的应力集中问题,得到了薄板在受到双向拉伸荷载作用时的应力集中系数的解析解[15].本文将这种方法推广到对含矩形小孔弹性薄板弯曲应力集中的研究,并且以一个四结点12自由度薄板弯曲单元为例进行了说明.

　　1　四边自由的弯曲薄板

　　讨论四边自由的薄板受到弯曲荷载的作用.在薄板中间有一个矩形小孔,如图1所示,其中:mx,my分别是两对边上单位长度所受的弯矩.假设薄板的厚度为单位长度,小孔的尺寸相对于其到薄板边界的长度非常小.

　　薄板所受的荷载条件可以看成如图2所示的两种荷载形式相叠加,而图2(a)结构的内力解是非常清楚的,即

　　因此,原问题转变为求图2(b)所示结构的内力解.只要矩形小孔距离边界足够远,则这个解就可以适用于其它荷载条件和边界条件下的弯曲应力集中问题.

　　2　控制方程

　　研究如图2(b)所示的薄板结构.取矩形孔大小为一个单元,把薄板划分成m×n个相同的单元,于是可以把薄板看成在两个方向都具有循环周期性的结构.每个单元的尺寸即矩形小孔的尺寸为2a×2b,其中2a和2b分别为单元在x和y方向的长度,如图3所示. (j,k)表示单元的编号, (j1,k1)是矩形小孔的编号,现在可以用U变换和FEM对循环周期结构进行分析[11].