连续性方程和柏努利方程的推导 ——-反证法的应用

　　连续方程 柏努利方程是“流体输送”一章中二个最重要的方程。高师和大专的化工教材，对这二个方程只是按一般的物料衡算 能量衡算法进行推导，使人印象不深，记忆不牢，多年的教学实践证明：采用“反证法”结合二个衡算进行推导，即忠于原教材，不给学生增加负担，又加强了对已学过的某些基本概念的运用，收效较好，现分述如下。

　　1 流体稳态流动时的物料衡算——连续性方程

　　当流体充满导管作稳态流动时，在不同的管径（d 1, d2）的1—1，2—2， 二个截面上，其对应的流速分别为w1 和w2（见 图1），在管路系统流体没有增加和泄漏的情况下，我们要弄清单位时间通过1-1，2—2两截面的流体质量究竟存在什么关系，须作以下推导：

　　推导的依据：质量守恒。

　　推导的条件：连续稳定（态），流体无吸入或泄失。

　　在由1—1， 2 ―2两截面和两截面之间的管路组成的体系中， 任选一截面3—3　　，观察3 —3处密度和压强p的变化 。 

　　假定1 q m1 　　qm2 ，即输入质量流量大于输出的质量流量，那么流体质量m 就会在体系内积累，而体系的体积V是确定的，所以3—3截面处流体的密度 就会随时间的增长而增长，而压强p=gh 也会因密度的增长而增长。流体在无吸入的情况下，质量增加，即违反了推导的依据质量守恒，又违反了推导条件连续稳定，所以假定不成立。　　

　　假定，即输入的质量流量小于输出的质量流量，那么流体质量m就会在体系内逐渐减少，而体系的体积 V 是确定的，所以3—3截面上流体的密度就会隋时间的增长而减小。流体在无泄失的情况下，质量减小，即违反了推导的依据质量守恒定律，又违反了推导的前提连续稳定的条件，所以假定不能成立。　　

　　外界输入到体系的质量流量和由体系输出到外界的质量流量，总共有三种可能性。已有二种被否定，只剩下一种，即输入的质量流量等于输出的质量流量， q m1 =qm2 =q m = 恒量。用文字表达如下：在连续稳定的流体系统中，流体流经管道任一截面的质量流量为一恒量。因 q m =Aw, 所以上式又可以写为：A1w1 =A2w2 =Aw= 恒量，该式称为流体连续性方程。对于理想流体或不可压缩流体，上式又可以写为 A1w1 =A2w2 ，对于园管而言，又可筒化为 , = 　　

　　2 流体稳态流动时的能量衡算———柏努利方程