热电偶特性曲线样条函数拟合的优化

　　1 引言

　　采用非等距插值，寻找最佳插值点可得到较好的热电偶特性曲线拟合效果。罗万象等进行了非等距二次曲线拟合困，在一定的精度要求下达到了较少的分段数，是所见到的效果最理想的二次插值。对此成功地进行复现，且改进算法后得到了多种更优的二次拟合结果。把复杂函数关系处理成等距的三次样条函数[v，“」，可以提高插值曲线的光滑度，但插值效果并不理想，尤其在两端点处误差很大。因此，尝试了非等距三次样条插值，以进一步减少插值节点并提高精度。通过合理选择插值节点，求出了优化的插值方案，且曲线光滑连续。尽管插值过程复杂，但直接利用其插值结果后其运算量很少。

　　2  三次样条插值原理及插值节点优化

　　由式(4)确定了关于“十1个未知量叭的“一1个线性方程，还需要两个边界条件才能求解。可以采用自然、非节点等边界条件来求取样条函数。

　　为进一步逼近热电偶的特性曲线，改善拟合效果，利用足够多的节点采用最小二乘法来代替所需的两个边界条件。选择间距足够小的序列t]，其对应的函数输出值为uj，而所在的分段中对应的样条函数为￡(tj)，显然uj与、(tj)之间方差越小，整体逼近的效果越理礴。为使达到极小值，对m。及甄的一阶偏导数应为0，即:

　　联合式(4)与式(5)，可取得m的唯一解。通过上述最小二乘法来进行三次样条插值，其效果也不理想，因此需调整插值节点位置，使方差最小且误差分布均匀，以此来减小插值误差。设:(:)三阶导数的立方根在两节点间的积分为ct[‘0，川，即:

　　显然，ci仅取决于分段样条函数的三次项系数与节点间距。由三次项引起的非线性越大，其节点间距应越小，以减小插值误差。因此保持各分段的叹基本相等时，可得较好的插值效果。在试探性求取样条插值函数后，整个样条函数的Ci及乙Ci已知，各分段的Ci取其均值习Ci/n，从而可以调整插值节点间距使各段的积分值ci接近，并使艺Ci尽可能减小。调整插值节点后，又可通过与特性曲线的最小二乘法来获得新的三次样条插值函数。在重分布插值点时，样条插值的三次项系数有所变化，同时，二次项也带来非线性，因此可依次反复调整插值节点并取得样条插值函数，使插值误差减到最小，从而取得优化的三次样条插值函数:(劝。

　　已知mi后，由于式(l)仍较复杂，不很适合于单片机处理，因此，把它简化为

式(8)中的系数一般由PC机预处理来求取，而式(8)的计算仅需1次减法、3次乘法与3次加法，普通微处理器就可以处理。