圆度最小二乘评定结果的不确定度估计

　　1 引言

　　GB/T7235-2004[1]规定了圆度误差的四种评定方法:最小区域法、最小二乘法、最小外接圆法和最大内接圆法。其中,最小二乘法因其理论成熟、算法简便易行等优点应用最为普遍,甚至被列为欧美国家的圆度误差评定标准。但在圆度测量中,由于评定模型的非线性和不可微,难以估计最小二乘评定结果不确定度,因此实际测量中一般只给出测量结果,而不给出其不确定度。为解决该问题,本文在对圆度最小二乘评定模型进行线形化处理的基础上推导了不确定度估计公式,从而使得评定结果更加完善,并且符合新一代产品几何规范(GPS)标准的要求。

　　2 圆度误差评定的最小二乘法

　　以(xi,yi),i=1,2,,,n,n>3为被测实际圆周上的测量采样点。设待求最小二乘圆的方程为(x-x0)²+(y-y0)²=R2,其中(x0,y0)为最小二乘圆的圆心,R为最小二乘圆的半径。

　　令

　　最小二乘法的目标函数为:J(x0, y0, R)=,约束条件是J(x0,y0,R)ymin。要满足约束条件,必须有

　　将方程组(1)、(2)、(3)展开并化简得

　　最小二乘圆的圆心(x0,y0)、最小二乘圆的半径R由方程组(4)、(5)、(6)求得。由于方程组(4)、(5)、(6)是非线性方程组,求解十分复杂。因此,在圆度误差的实际测量与评定过程中,要求测量采样点满足以下约束条件:测量采样点在被测圆周上等间距分布;测量采样点的数目为偶数。在此约束条件下,方程组(4)、(5)、(6)可以线性化,线性化处理后的最小二乘圆圆心为

　　由此,实际圆的圆度误差最小二乘法评定结果为

　　经线性化处理的圆度误差评定的最小二乘法,由于算法简便易行已被列入我国产品几何量技术规范(GPS)评定圆度误差方法的国家标准。

　　3 圆度最小二乘评定的不确定度估计

　　根据上面给出的圆度误差最小二乘评定的基本原理,下面来推导出圆度最小二乘评定结果不确定度的计算公式。

　　假设采样点中到最小二乘圆心距离最大和最小的点分别为(xM,yM)和(xL,yL),则根据式(9),圆度最小二乘评定的结果表示为:

　　由ISO/TS 14253-2[3]给出的不确定度传递公式可知,要计算空间直线度最小二乘评定结果D的不确定度,必须确定上式中各个元素xM,yM,xL,yL,x0和y0的不确定度及其传递系数。其中,推导出各个元素的传递系数如下

　　在实际测量中,由于各被测点(xi,yi)是在独立、等精度的条件下测量所得,因此各测量点间是相互独立的,即xM,yM,xL,yL是不相关的,且有uxM=uyM=uxL=uyL=u0(u0为单点测量不确定度)。则x0和y0的不确定度可由下列两个公式计算得到