基于小波脊的MDOF系统的模态参数识别

    0 前言

    模态参数包含着振动的主要特征,因此准确地识别出系统的各阶模态参数有着非常重要的意义.模态参数的识别已经有很多成熟的方法,如以传统的FFT变换为基础的频域法,但这些方法在对含有噪声的信号处理时往往精度不是很高.小波变换具有良好的时频局部化特性及多分辨率分析的分层特性,因而在处理含有噪声的信号时可以将噪声分解到不同的频率通道进行平滑,从而可以降低噪声的影响.小波的这些特性决定了其在模态参数的识别领域有着广阔的应用前景,如以Gabor小波为基础的阻尼比的识别[1],以Daubechies正交小波为基础的线性时变系统的识别[2].本文利用小波脊原理对含有噪声的两自由度系统的响应进行了参数的识别.

    1 小波及小波脊理论

    如果信号f(t)满足:,即f(t)为能量有限信号,则f(t)的连续小波变换定义为

    式中u,s分别为位置参数和尺度参数,U*(t)为小波函数U(t)的复数形式.本文采用Morlet小波,即

    在实际工作中取G5,U(t)便近似满足作为小波的各种条件[3].小波变换是一个关于信号的线性表达式,具有线性叠加性1如果,则

    对任一实信号我们都可以写成振幅a(t)与时变相位<(t)的乘积[4]:

    将式(1.2)、(1.5)代入式(1.1)并利用Fourier变换的性质可得到f(t)的Morlet小波变换为

    其中E(u,N)为校正项,当a(u)、

    为了简化起见,记

    将上式中的Wf(u,s)用式(1.6)代入并忽略校正项E(u,F),得

    此时相应的点(u,N(u))称之为小波脊.将N=G/s代入上式可以进一步得到

    从式(1.9)可以看出,在时频平面内信号的小波变换的脊(u,N(u))就对应着其瞬时频率的曲线(u,X(u)),所以对于任一实信号,不管其频率在整个时域上是恒定的或时变的,我们总可以根据此信号的小波脊得到其瞬时频率曲线.在实际的应用中,小波脊可以通过小波变换系数的模极大来获得[1].

    现以信号f(t) = (3t2+5t+10)sin(25t3)为例,其时域图如图1所示(采样周期为0.002 5s,取其前1 024个点),f(t)小波变换系数如图2所示(在计算小波系数的过程中在每个尺度区间[2j,2j+1]内再取12个中间尺度,共计72个尺度,图中的尺度数为自然数,在1~72之间取值,如尺度数为20表示第20个尺度),由图2的小波系数求得的小波脊如图3所示.从图3可以看出f(t)的小波脊与信号的理论频率吻合得比较好.