逐次逼近法评定自由曲线的轮廓度误差

　　轮廓度是零件形位公差国家标准和国际标准中应用广泛而又难于测量和评定的项目.规则曲线的轮廓度评定已经有较为完善的方法.而复杂零件的外形曲线多为不规则的自由曲线,其轮廓用一系列离散的数据点来表示,而不是已知的数学方程,不能用规则曲线的评定方法,这给计算其轮廓度误差增加了困难.

　　轮廓度误差常用的评定方法有最小区域法和最小二乘法.最小区域法是评定轮廓度误差的最好方法,但自由曲线实现最小区域比较困难,而最小二乘法具有计算简便、易于实现的优点,且计算结果与最小区域的计算结果非常相近,因此目前都是采用最小二乘法进行轮廓度误差评定[1].

　　用最小二乘法评定时,常采用自适应的方法,使被测轮廓最大限度的适应理论轮廓,以此来消除测量基准与设计基准不重合造成的位置误差的影响[2].但由于求解过程中存在着近似计算,得到的优化解并非最优值,只有在测量基准与设计基准位置完全一致时,得到的才是最优解.本文在自适应法的基础上,引入迭代思想,提出了一种逐次逼近法来评定自由曲线的轮廓度误差,该方法是一种符合最小区域原则的轮廓度评定方法.

　　1 曲线的数学模型

　　对于复杂零件,其理想轮廓往往用一系列给定的理论数据点坐标来表示,实测数据也为离散的数据点,进行轮廓度评定,必须把这些数据点拟合成光滑的曲线.对于单值的非闭合平面曲线,可用插值三次样条函数来表示其轮廓,插值三次样条函数具有较好的保凸性和光顺性,且通过给定的数据点,有利于确保评定精度.表达式为

　　其中:Pi(xi,yi)为原始数据;hi= xi-xi-1;Mi=S''(xi);xi-1≤x≤xi(i=1,2,,,n).Mi的值可由连续性方程LiMi-1+2Mi+KiMi+1= di求得,根据实际情况需增加适当边界条件.

　　其中:

　　对于闭合的平面曲线,其轮廓可用极坐标下周期边界条件的三次插值函数来表示.

　　2 确定实测点到理论曲线的距离

　　实际测量点到理论曲线距离的计算是一个搜索、迭代的求解过程,可用实测点到其在理论曲线上的对应点之间的距离来表示.确定实测点在理想曲线上的对应点,可以采用在理论轮廓曲线上搜索一点使其与实测点之间的距离为最小的方法.理论曲线是分段的三次样条曲线,所以首先搜索实测点所对应的理论曲线段.然后不断缩小搜索区间,直到找到对应点.

　　1)第一次搜索.确定实测点所对应的理想轮廓曲线段.

　　由于理论曲线与实测曲线处于小偏差状态,所以若实测点Pi(xi,yi)对应的理论曲线段由理论点P*j(xj,yj)和P*j+1(xj+1,yj+1)构成,必有xj≤xi≤xj+1,由此可确定实测点对应的理论曲线段.