圆柱表面重构基准的曲线拟合提纯法

　　0 引言

　　圆柱体形状误差由三部分构成: ①截面的圆度形状误差; ②反映零件各被测截面基本尺寸变动情况的最小二乘半径偏差; ③截面间的相互位置。在利用三点法测量截面圆度时, 分离出的截面圆度形状误差的最小二乘圆心与测量坐标系的坐标原点重合, 分离出的回转误差运动中包含安装偏心(工件截面的最小二乘圆心与回转机构的回转中心不重合)造成的偏心误差运动和回转轴的纯回转误差运动[1,2]。由于截面间的相互位置是以截面的最小二乘圆心为基准来描述的, 那么, 如何确定截面的最小二乘圆心的位置就成了圆柱度精密测量的关键技术。

　　众所周知, 截面最小二乘圆心的运动(偏心误差运动)轨迹应为半径等于偏心量的圆, 其在直角坐标系的坐标轴上的表现形式为严格的一阶谐波, 而回转轴的纯回转误差的运动轨迹与支撑轴承的精度, 回转轴的转速、受力、润滑等很多情况有关, 尽管回转系统的精度越高其回转误差运动的周期性、重复性越好, 但相对于偏心误差运动来讲, 其还是有较大随机性的。所以可以认为,利用误差分离原理分离出的截面最小二乘圆心回转误差运动是具有严格周期性的二乘圆心偏心误差运动上叠加了一个谐波成分复杂的纯回转误差运动。因此提出了一种利用最小二乘法拟合偏心误差运动并以此来确定其初始位置的方法, 并通过实验验证了该方法的可行性。

　　1 偏心误差运动的拟合原理

　　设在j截面上第i个测点时, 截面最小二乘圆心的回转误差运动在直角坐标系两坐标轴上的分量分别为δx(i,j)、δy(i,j), 其运动轨迹示意描述如图1所示。由于偏心运动在直角坐标系的坐标轴上的分量为严格的一阶谐波, 所以可以设定截面j最小二乘圆心的偏心运动在两坐标轴上的分量的函数形式为:

　　式中:

　　j—测量截面的编号;

　　N—测量截面上的测样点总数;

　　i—测量截面上的测量点, i=0,1,2,…,N-1, 测样点间隔为2πi/N;

　　xj(i)、yj(i)—截面最小二乘圆心的偏心运动在两坐标轴上的分量;

　　Aj1、Aj2—j截面最小二乘圆心的偏心

　　运动在两坐标轴上直流分量;Bj1、Cj1、Bj2、Cj2—j截面最小二乘圆心的偏心运动在两坐标轴上余弦、正弦系数。那么, 根据最小二乘法原理, 拟和函数的偏差平方和为:

　　根据极值理论, 要是Qjx最小, 必有:

　　亦即:

　　对上式(5), 利用三角函数的正交性可以得到:

　　同理得: