量子简并性对气体斯特林制冷循环性能的影响

    1.引言

    近年来,有关量子热力循环问题已吸引了许多学者的关注,已经取得了许多有益的结论.在量子热力学循环中,其工作物质可以涉及到量子气体、自旋1P2系统、谐振子系统和势阱中的微观粒子等.一些文献对以量子气体为工质的卡诺、埃里克森、斯特林和奥托等热力循环中的功、功率、效率和制冷系数等性能参数进行了研究,由于量子气体简并性的影响,量子气体的各种热力学循环的性能是不同于经典气体的热力循环的性能[1)10].另一些文献应用有限时间热力学的方法对以1P2自旋系统和谐振子系统为工质的量子热力循环的性能进行了研究[11)15].还有一些文献建立了以势阱中的微观粒子为工质的量子卡诺循环模型,得到了与经典卡诺循环类似的效率公式[16,17].

    斯特林制冷循环是一类重要的制冷循环方式,其工作物质可以是经典气体、磁材料和铁电材料,按照经典热力学理论,使用上述工质的斯特林制冷循环具有理想回热条件,它们的制冷系数与工作在相同温度区间的卡诺制冷循环的制冷系数相等[18)21].但是当气体的温度较低时,经典气体模型将被量子气体模型所取代,必须考虑气体的量子简并性,这时气体斯特林制冷循环将不同于经典气体的斯特林制冷循环,它被称为量子斯特林制冷循环.

    本文基于理想量子气体的状态方程,对量子气体的斯特林制冷循环的回热特征进行了分析,得到了制冷系数的普遍表达式,并在强简并和弱简并条件下得到了制冷系数的具体表达式.

    2.理想量子气体的状态方程

    根据量子统计理论[22,23],理想量子气体的压强和粒子数密度分别为:

    对费米气体

    对玻色气体

    其中g为自旋简并度,λ为平均热波长,k是玻尔兹曼常数,N是理想量子气体粒子总数,N0是玻色气体在基态的粒子数,V是量子气体的体积,v是单个粒子所占据的体积,T为气体的温度,fn(z)和gn(z)分别称为费米和玻色积分.而平均热波长、费米积分和玻色积分分别定义为

    其中z=exp(µPkT)称为逸度,Γ(n)称为伽玛函数,h为普朗克常数,m为单个粒子的质量,L为气体的化学势.由(1))(4)式,可得理想量子气体的状态方程

P=nkTF(z), (5)

    n为粒子数密度,F(z)被称为修正因子.

    对费米气体

    对玻色气体

    Tc是玻色_爱因斯坦凝聚温度[24,25],且

Tc(v) =APv^2/3, (9)

    其中A=h²P(2Pmk[ζ(3/2)]^2/3)为常数,ζ(n)为Riemann_Zeta函数.

    理想量子气体的熵和热容分别为:

    对费米气体

    对玻色气体,当T>Tc时,熵表达式与(10)式相同,当T≤Tc时,熵表达式为