确定极限载荷时增量法中载荷增量步长的选取

　　引　言

　　在结构的弹塑性有限元分析中,由于增量理论比较完善,故采用增量理论的增量法得到迅速发展。为消除增量法中由于线性化带来的误差,即失衡力,提出了各种解法^[1][2][3]。文^[1]的迭代解法,在每增量步中进行迭代,在每次迭代中把上次迭代的失衡力当作载荷作用到单元上,调整应力和应变,直到满足屈服准则和本构关系。但当载荷超过极限载荷时,因应力处于极限状态,无法被调整,造成迭代不收敛,无法消除失衡力。

　　本文提出一种在确定结构极限载荷时增量弹塑性有限元法中载荷增量步长的优化分析方法。通过以每增量步中迭代收敛为目标函数,利用黄金分割法优化载荷增量的步长,从而保证迭代收敛且计算结果满足精度要求。当步长被优化到无穷小的数δ时,迭代才收敛,则此时的载荷为这种加载方式对应的极限载荷

　　1　弹塑性有限元的增量理论

　　1.1　增量理论的基本关系式

　　采用普朗特———路埃斯塑性流动理论,弹塑性的本构关系表达式为:

　　式中:d{σ}和d{ε}分别表示应力增量向量和应变增量向量,D_ep表示弹塑性本构关系矩阵

　　式中:D_e表示弹性矩阵,D_p表塑性矩阵

　　式中:σ_i和{σ}分别表示等效应力和应力向量;H′表示材料线性应变强化参数

　　记

　　则弹塑性本构关系矩阵为

　　1.2　增量法的迭代步骤

　　增量法中,由于在一个增量段内以直线代替曲线,这样必然产生误差,即失衡力。为消除失衡力,文献^[1]中提出在每加载增量步中进行迭代,在每次迭代中把上次迭代的失衡力当作载荷作用到单元上,调整应力和应变两项,直到满足屈服准则和本构关系。步骤为:

　　(1)记{ΔP_R}j^(r-1)为为第j次加载的第r-1次迭代的失衡力,把图3作为第r次迭代的载荷,按弹性状态得应力增量{σ_e}^r={σ_e}^r-1+d{σ_e}^r。

　　(2)当,即高斯点此前并未屈服,但当施加对应于本次迭代的载荷时,高斯点已经屈服,

　　大于屈服值的应力部分r_d{σ_e}^r,,应退回到屈服面上(如图1)。

　　(3)计算失衡力

　　(4)利用判断迭代是否收敛;利用判断迭代是否满足精度要求。当收敛且满足精度要求时,进入j+1次加载计算;否则继续下次迭代。　

　　2　确定极限载荷时载荷增量步长的选取