论弹性力学变分原理各类条件的完备性

　　变分原理作为有限元素法和其他近似计算方法的理论基础,越来越受到学术界的重视.在变分学中,存在两类互逆的问题,一类是将泛函的驻值问题化为微分方程的边值问题(正问题),一类是将微分方程的边值问题化为泛函的驻值问题(逆问题).众所周知,(线性)弹性力学基本方程为

　　这一组弹性力学基本方程的适定性,保证了力学问题解的唯一性.

　　对应着弹性力学基本方程的适定性,本文论证了弹性力学变分原理各类条件的完备性.研究表明,弹性力学变分原理各类条件完备性有2种含义:1)弹性力学变分原理的先决条件和驻值条件一起构成适定的微分方程组;2)弹性力学变分原理的先决条件、补充条件和反映的规律一起正是弹性力学全部基本方程.

　　论文应用弹性力学变分原理各类条件完备性研究了最小余能原理、广义变分原理和组合变分原理中的有关问题.研究表明,应用变分原理各类条件完备性可以检验变分原理的正确性,可以判断某一变分原理是经典变分原理、或广义变分原理、或组合变分原理,对于建立各个学科领域的新型变分原理具有指导意义.

　　1　弹性力学变分原理的各类条件完备性的一种含义

　　人们认识事物,通常是从认识特殊的事物发展到认识一般的事物.这里将以最小势能原理为例,来说明变分原理的各类条件完备性的一种含义.最小势能原理可以表示为如下的形式,其泛函为

　　人们通常说的最小势能原理,多指这种形式.

　　这里说明一下.先决条件是指变分原理事先必须满足的条件.先决条件的含义比附加条件更为广泛些.例如,事先必须满足的边界条件也算先决条件,但不算附加条件.Courant-Hillbert的著作里[1],带附加条件的变分问题中,所谓的附加条件便不包括边界条件.

　　将几何条件(3)代入泛函(7)中,则最小势能原理的泛函变换为

　　这是最小势能原理最实用的表示形式.

　　应用对合变换[2],最小势能原理的泛函可以变换为

　　其先决条件为式(1)~(4);其驻值条件为式(5).

　　比较泛函Π12、Π11、Π13的驻值条件和先决条件的异同:泛函Π13的驻值条件为式(5),它正是弹性力学基本方程中的本构关系,几何条件式(3)、(4)和平衡条件式(1)、(2)由先决条件反映.泛函Π12的驻值条件为式(8)和(9),它们是以应变为基本变量的平衡条件,几何条件式(3)、(4)由先决条件反映;泛函Π11的驻值条件为式(11)和(12),它们是以位移为基本变量的平衡条件,位移边界条件式(4)由先决条件反映.

　　以上的泛函Π12、Π11、Π13的驻值条件和先决条件虽然各不相同,但是,有一个共同点,这就是各个泛函的先决条件和驻值条件一起,构成一个适定的微分方程组.这便是变分原理的各类条件完备性的第一种含义.