梁或轴振动的一种直接解法

　　目前,工程上常用的梁或轴的振动分析方法是传递矩阵法,它通过逐站传递的方法分析梁或轴的振动。但它不能直接给出梁或轴上任意一点的位移、转角等参数的表达式,而且需经传递计算方能列出分析振动所需的方程组。当梁或轴上具有较多简支或铰链时,传递计算亦不甚方便。

　　笔者利用梁的振动微分方程的基本解,用边界元方法,直接给出梁上任意一点的位移等参数的表达式,在任意支承条件下都可直接列出计算固有频率、振型及响应的方程组,且方程组的阶数与用传递矩阵法得出的相同,其计算量也比传递矩阵法的小。

　　1　基本公式

　　设图1中梁各截面的弯曲刚度EI相等,截面积A及密度ρ不变;并设梁在ls1、ls2、…、lsm1处有简支,在lh1、lh2、…、lhn1处有铰链;梁的总长为L。

　　由于在简支两边剪力不连续,即在lsi处不连续,故为进行一次分部积分,应把式(3)写成分段积分的形式:

　　对上式分部积分,并注意到剪力,且设lsi处的支承反力为Psi,于是有

　　在铰链两边,转角不连续。设lhj(j=1,2,…,n1)处转角的突变值为θj,则有

　　的解,即所谓基本解,并利用狄拉克δ函数的性质可得[2]

　　为求基本解,对式(5)两边进行拉氏变换,然后再进行反变换,可以求出

　　由此不难求出ω*1、T*1等项。

　　2　固有频率的计算

　　在梁的两端,不管边界条件如何,总有4个未知数,分别取ξ为ε和L-ε,利用式(6)～式(9)中的任意两式,当ε→0时可得4个方程。也可以只取ξ=ε(或取L-ε),利用式(6)～式(9)得4个方程;取ξ分别为lsi(i=1,2,…,m1),利用简支处位移ω(lsi) = 0的条件可得m1个方程(未知数Psi的个数也为m1个);然后再取ξ分别为lhj(j=1,2,…,n1),利用铰链处弯矩M(lhj) = 0的条件,由式(8)可得n1个方程(未知的转角突变值θ也有n1个)。因此,方程数与未知数个数是相等的。最后的方程可写成以下矩阵形式:

　　当频率p为梁的固有频率时,未知量{X}应有非零解。因此应有

　　由此式即可算出梁的固有频率。

　　例如,在悬臂梁的情况下,设梁的左端固定、右端自由,则有ω(0)=ψ(0)=M(L)=P(L)=0。分别取ξ=ε和ξ=L-ε,利用式(6)和式(7),当ε→0时可得

　　这就是悬臂梁的频率方程。

　　若取ξ=L-ε,利用式(6)～式(9),当ε→0时可得

　　这与传递矩阵法中的场传递公式是完全一致的[3]。

　　3　振型及对简谐迫振力的响应

　　求出固有频率后,可算出p为固有频率时矩阵[A]的各元素。令未知数{x}中的任一元素为1,在式(11)中,把已知的数值移到等号的右边,式(11)可改写为