具有弹性边界条件的圆板对简谐激励的响应

    1　系统的运动方程及其边界条件

    1.1　系统力学模型的建立

    为了便于计算,这里把圆板看作均质和线性轴对称的。根据以后边界参数识别的需要,设圆板具有通用(弹性)边界条件,并用对应于挠度、倾角的弹簧和阻尼器来模型化。设弹簧为线性的,对应于挠度和倾角的弹簧刚度系数分别为kw和kθ;设阻尼为粘性的,对应于挠度和倾角的阻尼系数分别为Cw和Cθ,边界处的等效质量为m、等效惯性矩为I。简化后系统的力学模型如图1所示。

    1.2　系统的运动方程及其边界条件

以圆板的中心O为原点建立极坐标(r,θ),设作用在圆板上的横向外力为轴对称的,则圆板的横向振动微分方程为:

    w(r,θ,t)———圆板的挠度函数

    f(r,t)———作用在圆板上的横向外力

    c—阻尼系数,Ns/m

    ρ—圆板的材料密度,kg/m3

    E—圆板材料的弹性模量,Pa

    v—圆板材料的泊松比

    a—圆板半径,m

    h—圆板厚度,m

    分别由边界处的剪力和弯矩平衡关系可以建立与方程(1)相应的的边界条件如下:

    2　圆板对简谐激励的响应

    设横向力f(r,t)随时间按简谐规律变化,即:

    f(r,t)=F(r)cosωt          (6)

式中　F(r)为简谐激励的幅值,是坐标r的函数;

    ω为简谐激励的频率。

可设方程(1)的解具有如下形式:

式中w(r),w—*(r)为坐标r的未知函数,分别表示板在r处响应余弦成分的幅值和正弦成分的幅值。

    将(7)式代入(1),并设

引入零次贝塞尔函数J0,并设方程(9)的齐次通解为:

式中　A,A*,λ为常数

    将(10)式代入(9)式的齐次方程,整理可得

若使式(11)有非零解,即使式(10)成为式(9)齐次通解,必须有:

式中Ai(i=1,2,3,4)为任意常数。

    将上式中的J0改写成如下形式

式中Ci(i=1,2,3,4)为任意常数,由边界条件(4)(5)确定。

    3　应用举例

    一圆板给定参数为:

ρ=7840kg/m³,E=2.06×10¹¹Pa,v=0.3,a=0.2m,h=0.003m,c=1.0 N·s/m　边界参数为:

kw=1.0×10⁴N/m,kθ=6.0×10²N·m/rad,cw=5.0N·s/m,cθ=3.0N·m·s/rad　作用在圆板中心的横向集中力的幅值为:F0=0.1N。

    根据边界参数识别的需要,在圆板上沿半径取四个等分点,记作ri(1,2,3,4)(图2)。为了找出系统的固有频率,令激励频率ω由0逐渐增大到400rad/s,计算ri(1,2,3,4)各点的响应,图3给出了r₃点的响应幅值谱,可以看到系统的固有频率约为103rad/s和288rad/s。ω=105rad/s时各点响应如图4所示,同时图5还给出了一周期内8个等分点的振型图。