扭摆法测转动惯量的误差分析

　　用扭摆法测量物体转动惯量是目前工程上普遍采用的方法，测量仪器和测量技术都比较成熟，但对测量的误差分析，还欠深入研究。文献[1]给出了转动惯量的相对误差计算公式为：

　　文献[2，3]等引用(1)式作为误差分析的依据。但是，我们多次实验结果表明，公式(1)的正确性和可靠性值得怀疑。通过深入理论研究发现，公式(1)不具备普遍性，它只能计算出误差的最小值，这样的计算结果对工程实际中误差分析意义不大，更不能用它作为误差分析的理论依据。理论分析过程中还发现：转动惯量测量误差的大小，不仅与测量仪器空载时的周期 T0有关，而且还和被测物体的周期 Td与标准件的周期Ts的比值有关，当Td=Ts时，β取极小值，当值处在某一个区间内时，其测量误差可控制在允许的范围内，这个区间就是仪器的有效测量范围。在上述研究成果的基础上，又考虑到便于与原误差计算公式(1)比较，在周期等精度测量情况下，我们提出，周期相对误差对转动惯量的相对误差影响的计算公式为：

式中β是周期T₀，Ts，Td的函数，其大致分布情况可见图1，部分数值计算结果见表1。

　　1 惯量测量误差计算公式

　　众所周知，用扭摆法测量转动惯量Id，可由下式计算出。

式中：I_s为标准件的转动惯量;Id为被测物体的转动惯量;T₀为空载时仪器的摆动周期;Ts为标准件的摆动周期;Td为被测件的摆动周期。

　　对(3)式微分并整理后，可得转动惯量Id的绝对误差ΔId(T)

式中：ΔIs为标准件惯量绝对误差;ΔId为被测物体惯量绝对误差;ΔT0为空载时托架摆动周期绝对误差;ΔTs为被测件的摆动周期的绝对误差;ΔTd为被测件周期的绝对误差。

　　若标准件的加工精度很高，则项可以略去，并假定摆动周期是等精度测量，即

　　由(7)式还可以进一步证明，当Td=Ts时，β取得极小值，但β>2 ，只有T0=0 时β=2 。这时

　　将此结果与(1)式相比，说明即使在β取极小值时(5)式所给出的误差值比(1)式大一倍，说明用(1)式计算转动惯量的误差是不适宜的。那么(1)式是在什么情况下得到的呢?首先是假定标准件的绝对误差ΔIs=0 ，其次采用不等精度测量，即T0 0，ΔTs 0 而ΔTd≠ 0，第三假定T₀比T_d小很多，即只有这时β=1，公式（4）才可简化成为公式（1）。β随T₀，T_s，T_d的变化趋势见图1，部分数值结果见表1。

　　2 实验测量和理论计算结果

　　实验结果是在周期等精度条件下得到的，ΔT=1×10^-4s，有三个试件其具体尺寸见图2。