最小二乘法在Pt100参数修正中的应用

0引 言

    工业铂电阻温度计稳定性好、可靠性高，广泛应用于-200～850℃的温度测量。我国 2011 年即将实施的工业铂电阻检定规程^[1]中工业铂电阻的电阻-温度特性函数为

    新、旧规程中，工业铂电阻的检定都是在 0℃和100 ℃展开的。采用对比法^[2]，根据温度系数α 和铂电阻在以上2个温度时的阻值与固定系数 CVD 方程之间的偏差判断其合格等级。因采用固定系数的CVD 方程以及温度校准点较少，降低了合格铂电阻的测量准确度。在实际应用中，可先在实验室用二等标准铂电阻校准单只工业铂电阻的电阻-温度特征参数，用校准得到的特征方程修正 CVD 方程^[3-5]，提高铂电阻的测温准确度。

1数学模型

    采用四次多项式工业铂电阻的电阻-温度特征函数关系：

    一共有 N（N≥5）个测量数据点，将 N 次测量结果改写为矢量形式：

    该方程也称为正则方程。

    当系数矩阵 X_N受到很小的扰动 ΔX 时，若引起解向量w很大的变化，则称系数矩阵 X_N是病态矩阵^[10]。条件数就反映了扰动 ΔX 经系数矩阵的传播之后扩大为解向量的误差程度，是衡量线性方程数值稳定性的一个重要指标。式（6）中系数矩阵 X_N^TX_N的条件数为

    根据条件数的计算方法，计算正则方程的条件数Cond（X_N^TX_N），其数量级在 10⁵以上，故正则方程式是病态的，不能直接用式（6）求解特征参数的估计值。

2 特征参数求解

    采用奇异值分解（SVD）求解最小二乘（LS）方程，可以有效地克服病态问题对解的影响。LS 的SVD解具有良好的性质：不管 X_N^TX_N是否可逆，SVD解是满足目标函数值最小的可能解中模值最小的解。从数值稳定性来考虑，模值最小的解（SVD 解）一般是最好的解^[9]。

    奇异值分解定理^[11]：总存在 2 个酉矩阵 V 和 U使得 X_N可以分解为

    其中，σ₁，σ₂，…，σ_w是数据矩阵 X_N的奇异值，σ1≥σ₂≥…≥σ_w≥0，w≤N。将式（8）带入正则方程，可以得到：

    求得的特征参数是以总体误差平方和最小为原则，在评价修正特征参数对温度测量误差的结果时也应该遵循这个准则。

3实验方法及结果分析

    校准系统装置由 1 台控温范围-100～300℃的恒温槽、二等标准铂电阻温度计、测温电桥组成。随机选取 3 只工业铂电阻温度计作为校准对象。