剪切干涉仪的定量处理数学原理及采样处理技巧

　　1　引　言

　　剪切干涉仪具有其独特的抗震动干扰,无需标准比较球面等特点,它也不会出现其他类型的干涉仪经常出现的二束光(参考光与被检光)强度对比相差太大(往往是20多倍甚至更大),因而造成条纹对比度太差,甚至到无法拍摄测量的地步。因此适合于任何场合的检验,但它也存在一个“不直观”的毛病,即对被检波面上同样的毛病,所呈现的干涉条纹与常规的干涉条纹不一样(以往的经验不能完全用上),且毛病的位置与量级也不能一目了然,即使是同一毛病,同样用剪切棱镜,剪切量不同时,反映的图案也不相同。

　　多年来,人们在剪切干涉图的定量处理方面做了大量工作。美国光学中心的W.J.Wyant教授和M.P.Rimmer教授曾在1975年就提出了变换系数法。在他们的公式里用的是直角坐标系下的幂级数基底,即:1,(X,Y),(X2,XY,Y2),(X3,X2Y,XY2,Y3),……。虽说推导的公式在数学上是正确的,但因为干涉图一般是圆域或近似于圆域(剪切干涉图),在定量处理时,如果我们用Gramm-Schmidt正交方法去处理,那么方程的矩阵将呈病态,所以处理的精度很差,这是限制它进一步发展的主要障碍。幸好泽尼克多项式在圆域上是正交的,因而用它的组合做基底,则可避免这一问题。国内也有人将剪切干涉当做普通干涉的一阶导数来处理,但是因为它不是严格数学定义上的导数,它还与剪切量密切相关,所以它不但在数学上不严密,而且计算出来的精度也不够。M.P.Rimmer教授在1974年3月就提出了联立方程求解的方法,这方法在数学上和光学上是严密正确的,解算的精度也很高(当然使两张在两个互相垂直的剪切方向上的干涉图处于同一检测状态,也是非常困难的),由于它的采样计算点的数目取决于剪切量,所以在剪切量比较小时,采样点较多,因而此法是杰出的。但是随着剪切量的增加,采样点将急剧下降,所以在这里就提出了扩展了的联立方程求解的方法。

　　2　变换系数法

　　剪切干涉从定性的角度来讲可以认为反映的是被检波面的斜率,这从下面剪切的表达式普遍“降阶”可明显地看出。但它又不是严格定义上的斜率,它的量级与剪切量的大小有着直接的关系,因此从剪切条纹解算波面就不能简单地从斜率积分得出(象哈特曼方法那样),而必须找出其内在数学关系方可解出。

　　2.1　X方向剪切

　　常规泽尼克系数的直角坐标基底如表1所示(本文仅简单介绍到15项系数)。波面在X方向发生剪切时如图1所示。若剪切量为S,则产生的X方向剪切波面为:

　　其展开形式见表2。

　　首先我们对ΔWX(X,Y)的剪切干涉条纹图形按非剪切干涉条纹(即普通干涉条纹)图形处理,根据泽尼克多项式,于是得到: