空间带端面圆的圆度误差评定方法

　　三坐标测量技术在整个测试计量领域中有着举足轻重的作用。随着科技的发展，三坐标测量机研究已经完成了从平面的二维测量到空间三维多自由度测量的演变[1]。圆度误差的评定是三坐标测量机的功能之一。其评定方法主要有最小外接圆法、最大内接圆法、最小二乘法以及最小区域法等[2]。空间工件的圆度误差评定，通常先进行投影面的确定，再转化为二维的数据处理[3-7]，这就使圆度误差的测量评定成为多步测量。为充分利用三坐标测量机的三维信息进行圆度误差评定，且简化步骤，文中对圆度误差的评定方法以及平行双关节式坐标测量机的测量原理进行了研究，提出了一种新的算法。

　　1 评定方法

　　1.1 被测轮廓圆所在平面信息

　　图1为带端面的圆形工件。被测圆带端面使得坐标测量机侧头采集点信息时，获得沿端面法向指向侧头和沿侧头与圆接触点指向侧头球心两个方向的约束。这保证了侧头所采集的点所在平面的法矢和端面的相同。

　　采集到的三维信息测量点Pi(xi，yi，zi)(i = 1，2，3，…，N)，如图2所示。

　　设拟合端面的平面方程为ρ:z=Ax+By+C，根据最小二乘原理和极值原理，可得到确定该平面的3个参数，即

　　其中，

　　该平面的法矢(l，m，n)为:

　　C确定平面ρ的位置8]。

　　1.2 采集点的拟合端面投影

　　设Pi(xi，yi，zi)在平面ρ上对应的投影点为P′i(x′i，y′i，z′i)，则垂线方程为

　　由此可得到所有点Pi(xi，yi，zi)在平面ρ上的投影点P′i(x′i，y′i，z′i)，如图2所示。

　　1.3 坐标系变换

　　为实现圆度误差评定的计算，将坐标测量机空间直角坐标系进行变换，使原z轴的方向与平面ρ的法向量方向一致，即将拟合圆投影面的坐标系转换为以这个平面ρ为新的x轴和新的y轴构成的平面，并且以与平面ρ垂直的方向作为新的z轴构成了一个新的空间直角坐标系，从而得到新的投影点P″i(x″i，y″i，z″i)。此时，所有点的z坐标值相同。

　　经计算，坐标系变换矩阵为

　　1.4 圆度误差

　　文中采用最小二乘法[8]，利用拟合端面上的投影点进行圆度误差评定。采样点经过向平面ρ上投影和坐标系变换，得到一系列的等价二维数据。为计算方便，设x″i为Xi，y″i为Yi。设最小二乘法拟合圆曲线为

　　设采样点的个数为N，令